Question

2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4分别与x轴、y轴交于点A和点B，抛物线y=ax²-3x+c经过A、B两点．点C为第二象限抛物线上一动点（不与点A，点B重合），过点C作CE⊥x轴于点E，交直线AB于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设C点的横坐标为m，CD的长为n，求n关于m的函数关系式，并求n的最大值；
（3）当CD最长时，连结CB，将△BCD以每秒1个单位的速度沿射线BO方向平行移动，当点C运动到点E时停止运动，把运动过程中的△BCD记为△B′C′D′，设运动时间为t，△B′C′D′与四边形OBDE重叠部分的面积为S，请求出S关于t的函数关系式，并写出对应t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求得A、B的坐标，然后将点A（-4，0），B（0，4）的坐标代入可得到关于a、c的方程组，从而可求得a、c的值；
（2）设C（m，-m²-3m+4），则D（m，m+4），然后可得到n与m的函数关系式，最后利用利用配方法可求得n的最大值；
（3）当m=-2时，CD最长，最长为4，然后可得到点C的坐标和点D的坐标，过点C作CH⊥y轴，垂足为H．接下来，证明△BCH，△ADE、△BCD为等腰直角三角形，从而可求得BC的长以及△BCD的面积，当0＜t≤2时，如图2，设C′B′与AB交于点G．则S=△C′D′E′的面积-△C′DG的面积；②当2＜t≤4时，如图3，设C′B′与AB交于点G，D′B′与x轴交于点I，S=△C′D′E′的面积-△C′DG的面积-△ED′I的面积；③当4＜t≤6时，如图4所示：S=S_△C′EI．

解答 解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=-4，
∴A（-4，0），B（0，4），…（1分）
∵点A（-4，0），B（0，4）在抛物线y=ax²-3x+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+12+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，解得：a=-1，c=4．
∴抛物线的解析式为：y=-x²-3x+4．

（2）∵CE⊥x轴于点E，交直线AB于点D，C点的横坐标为m，
又∵C在抛物线y=-x²-3x+4上，
∴C（m，-m²-3m+4）．
∵点D在直线y=x+4上，
∴D（m，m+4），
∴n=（-m²-3m+4）-（m+4）=-m²-4m=-（m+2）²+4．
当m=-2时，n的最大值为4．

（3）当m=-2时，CD最长，最长为4，
把m=-2代入y=-m²-3m+4得y=6，
∴C（-2，6）
把m=-2代入y=m+4得y=2，
∴D（-2，2）．
过点C作CH⊥y轴，垂足为H．

∵C、B的坐标为（-2，6），B（0，4）
∴BH=OH-OB=6-4=2，
∴△BCH为等腰直角三角形，
同理可得，△ADE为等腰直角三角形
∴△BCD为等腰直角三角形
∵在Rt△BCD中，CD=6-2=4，
∴BC=4•cos45°=2$\sqrt{2}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{2}$）²=4．
①当点C′在线段CD上，点D′在线段DE上，即0＜t≤2时，如图2，设C′B′与AB交于点G．

S_△C′DG=[（4-t）•cos45°]²×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$t²-2t+4．
∴S=4-（$\frac{1}{4}$t²-2t+4）=-$\frac{1}{4}$t²+2t．
②当点C′在线段CD上，点D′在线段DE的延长线上，即2＜t≤4时，如图3，设C′B′与AB交于点G，D′B′与x轴交于点I．

S_△C′DG=[（4-t）•cos45°]²×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$t²-2t+4，S△D′EI=$\frac{1}{2}$（t+4-6）²=$\frac{1}{2}$t²-2t+2．
∴S=4-（$\frac{1}{4}$t²-2t+4-（$\frac{1}{2}$t²-2t+2）=-$\frac{3}{4}$t²+4t-2．
③当点C′在线段DE上，点D′在线段DE的延长线上，即4＜t＜6时，如图4．

S=S_△C′EI=$\frac{1}{2}$（6-t）²=$\frac{1}{2}$t²-6t+18．
综上所述，S与t的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}{t}^{2}+2t（0＜t≤2）}\\{-\frac{3}{4}+4t-2（2＜t≤4）}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}-6t+18（4＜t≤6）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、配方法求二次函数的最值，三角形的面积公式，根据题意画出符合题意的图形是解答本题的关键．