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如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,且BF是⊙O的切线,BF交AC的延长线于F.

(1)求证:∠CBF=∠CAB. (2)若AB=5,sin∠CBF=,求BC和BF的长.

(1)证明略;(2)BC=,BF=.

【解析】

试题分析:(1)连结AE.有AB是⊙O的直径可得∠AEB=90°再有BF是⊙O的切线可得BF⊥AB,利用同角的余角相等即可证明;

(2)在Rt△ABE中有三角函数可以求出BE,又有等腰三角形的三线合一可得BC=2BE,

过点C作CG⊥AB于点G.可求出AE,再在Rt△ABE中,求出sin∠2,cos∠2.然后再在Rt△CGB中求出CG,最后证出△AGC∽△ABF有相似的性质求出BF即可.

试题解析:

(1)证明:连结AE.∵AB是⊙O的直径, ∴∠AEB=90°,∴∠1+∠2=90°.

∵BF是⊙O的切线,∴BF⊥AB, ∴∠CBF +∠2=90°.∴∠CBF =∠1.

∵AB=AC,∠AEB=90°, ∴∠1=∠CAB.

∴∠CBF=∠CAB.

(2)【解析】
过点C作CG⊥AB于点G.∵sin∠CBF=,∠1=∠CBF, ∴sin∠1=.

∵∠AEB=90°,AB=5. ∴BE=AB·sin∠1=.

∵AB=AC,∠AEB=90°, ∴BC=2BE=.

在Rt△ABE中,由勾股定理得.

∴sin∠2=,cos∠2=.

在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2. ∴AG=3.

∵GC∥BF, ∴△AGC∽△ABF. ∴

.

考点:切线的性质,相似的性质,勾股定理.

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