Question

5．如图：AB是⊙O的直径，AC交⊙O于G，E是AG上一点，D为△BCE内心，BE交AD于F，且∠DBE=∠BAD．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：DF=DG；
（3）若∠ADG=45°，DF=1，则有两个结论：①AD•BD的值不变；②AD+BD的值不变，其中有且只有一个结论正确，请选择正确的结论，证明并求其值．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内心的性质得出∠DBC=∠DBE，进而根据已知求得∠DBC=∠BAD，根据圆周角定理即可证得∠BAD+∠ABD=90°，从而求得AB⊥BC，证得结论；
（2）连接DE，根据圆内接四边形外角的性质得出∠DGC=∠ABD，由三角形外角的性质求得∠BFD=∠ABD，证得∠BFD=∠DGC，进而求得∠DEG=∠DEB，由三角形内心的性质得出∠DEG=∠DEB，然后根据AAS证得△DEF≌△DEG，从而证得DF=DG；
（3）在AD上截取DH=BD，连接AH、BG，证得△ABG是等腰直角三角形，得出AB=$\sqrt{2}$BG，然后证得△ABH∽△GBD，得出$\frac{AH}{DG}$=$\frac{AB}{BG}$=$\sqrt{2}$，求得AH=$\sqrt{2}$，即可求得AD-BD=$\sqrt{2}$．

解答 （1）证明：∵D为△BCE内心，
∴∠DBC=∠DBE，
∵∠DBE=∠BAD．
∴∠DBC=∠BAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠DBC+∠ABD=90°，即∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）证明：如图1，连接DE，
∵∠DBC=∠BAD，∠DBC=∠DBE，
∴∠DBE=∠BAD，
∴∠ABF+∠BAD=∠ABF+∠DBE，
∴∠BFD=∠ABD，
∵∠DGC=∠ABD，
∴∠BFD=∠DGC，
∴∠DFE=∠DGE，
∵D为△BCE内心，
∴∠DEG=∠DEB，
在△DEF和△DEG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFE=∠DGE}\\{∠DEG=∠DEF}\\{DE=DE}\end{array}\right.$
∴△DEF≌△DEG（AAS），
∴DF=DG；
（3）解：①AD-BD的值不变；
如图2，在AD上截取DH=BD，连接AH、BG，
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠AGB=90°，
∵∠ADG=45°，
∴∠ABG=∠ADG=45°，
∴AB=$\sqrt{2}$BG，
∵∠BDH=90°，BD=DH，
∴∠BHD=45°，
∴∠AHB=180°-45°=135°，
∵∠BDG=∠ADB+∠ADG=90°+45°=135°，
∴∠AHB=∠BDG，
∵∠BAD=∠BGD，
∴△ABH∽△GBD，
∴$\frac{AH}{DG}$=$\frac{AB}{BG}$=$\sqrt{2}$，
∵DG=1，
∴AH=$\sqrt{2}$，
∵AD-BD=AD-DH=AH，
∴AD-BD=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的判定、三角形内切圆和内心，圆周角定理的应用，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，圆内接四边形外角的性质等，作出辅助线构建全等三角形和相似三角形是解题的关键．