Question

如果抛物线y＝＋2(m－1)x＋m＋1与x轴交于A，B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，BO的长是b．

(1)求m的取值范围；

(2)若a∶b＝3∶1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；

(3)设(2)中的抛物线与y轴交于C点，抛物线的顶点是M，设AC与BM交于N点，求N点的坐标；

(4)在(3)中的抛物线上是否存在一点P，使得△POA与△NOA的面积比为3∶2．若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设A，B两点的坐标分别为(，0)，(，0)，则，是方程－2(m－1)x－(m＋1)＝0的两个根． 因为＜0＜，所以－(m＋1)＝＜0，解得m＞－1． (2)因为a∶b＝3∶1，OA＝a，BO＝b，所以可设＝3k，＝－k(k＞0) 　 　即消去k得－7m＋2＝0． 　解得m＝或m＝2． 　因为k＞0，而当m＝时，k＝－1＜0， 　所以m＝舍去，所以m＝2，此时抛物线解析式为y＝－＋2x＋3． 　(3)y＝－＋2x＋3＝－＋4，所以顶点M的坐标为(1，4)，C点坐标为(0，3)． 　直线BM的方程为y＝2x＋2，直线AC的方程为y＝－x＋3． 　 所以N点的坐标为()． (4)假设存在P点，使＝3∶2，则 　 　＋2x＋3＝－4 　－2x－7＝0，解得x＝1±2 　所以存在满足条件的P点，其坐标分别为(1，4)，(1＋2，－4)，(1－2，－4)．