Question

如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED=90°，连接OE，DE=6，OE=8，则另一直角边AE的长为________．

Answer 1

10
分析：首先过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，易得四边形EMON是正方形，点A，O，D，E共圆，则可得△OEN是等腰直角三角形，求得EN的长，继而证得Rt△AOM≌Rt△DON，得到AM=DN，继而求得答案．
解答：过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，
∵∠AED=90°，
∴四边形EMON是矩形，
∵正方形ABCD的对角线交于点O，
∴∠AOD=90°，OA=OD，
∴∠AOD+∠AED=180°，
∴点A，O，D，E共圆，
∴=，
∴∠AEO=∠DEO=∠AED=45°，
∴OM=ON，
∴四边形EMON是正方形，
∴EM=EN=ON，
∴△OEN是等腰直角三角形，
∵OE=8，
∴EN=8，
∴EM=EN=8，
在Rt△AOM和Rt△DON中，
，
∴Rt△AOM≌Rt△DON（HL），
∴AM=DN=EN-ED=8-6=2，
∴AE=AM+EM=2+8=10．
故答案为：10．
点评：此题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．