Question

5．有一个直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC．
（1）求被剪掉阴影部分的面积；
（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？

Answer 1

分析 （1）由∠BAC=90°，得BC为⊙O的直径，即BC=1m；又由AB=AC，得到AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，而S_阴影部分=S_⊙O-S_扇形ABC，然后根据扇形和圆的面积公式进行计算即可；
（2）扇形的半径是AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，扇形BAC的弧长l=$\frac{90π×\frac{\sqrt{2}}{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，然后利用弧长公式计算．

解答 解：（1）如图，连接BC，
∵∠BAC=90°，
∴BC为⊙O的直径，即BC=1m，
又∵AB=AC，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴S_阴影部分=S_⊙O-S_扇形ABC=π×（$\frac{1}{2}$）²-$\frac{90π×（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}{360}$=$\frac{π}{8}$（平方米）；

（2）设底面圆的半径为r，则$\frac{90π×\frac{\sqrt{2}}{2}}{180}$=2πr，
∴r=$\frac{\sqrt{2}}{8}$m
圆锥的底面圆的半径长为$\frac{\sqrt{2}}{8}$米．

点评 本题考查了扇形的面积公式：S=$\frac{nπ{r}^{2}}{360}$，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S=$\frac{1}{2}$lR，l为扇形的弧长，R为半径．也考查了90度的圆周角所对的弦为直径以及等腰直角三角形三边关系．