Question

（2013•高要市二模）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于B，大圆的弦BC⊥AB，过点C作大圆的切线交AB的延长线于D，OC交小圆于E．
（1）求证：△AOB∽△BDC；
（2）设大圆的半径为x，CD的长为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．

Answer 1

分析：（1）利用切线的性质、等腰三角形的性质证明∠BCD=∠ABO，利用两角法证明△AOB∽△BDC；
（2）过点O作OH⊥BC，垂足为H，则四边形OABH是矩形，根据垂径定理可得BC=2BH=2OA=2，在Rt△OAB中表示出AB，再由△AOB∽△BDC，利用对应边成比例的知识，可得y与x的函数关系式，结合二次根式有意义的条件，可得定义域．

解答：（1）证明：∵大⊙O与CD相切于点C，
∴∠DCO=90°，
∴∠BCD+∠OBC=90°，
∵CB⊥AD，
∴∠ABO+∠OCB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠BCD=∠ABO，
∵小⊙O与AB相切于点A，
∴∠BAO=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
∴△AOB∽△BDC．

（2）解：过点O作OH⊥BC，垂足为H，
∵∠OAB=∠ABC=∠BHO=90°，
∴四边形OABH是矩形，
∵BC是大⊙O的弦，
∴BC=2BH=2OA=2，
在Rt△OAB中，AB=

OB2-OA2

=

x2-1

，
∵△AOB∽△BDC，
∴

CD

OB

=

CB

AB

，
∴

y

x

=

2

x2-1

，
∴函数解析式为y=

2x

x2-1

，定义域为x＞1．

点评：本题考查了圆的综合，涉及了相似三角形的判定与性质、切线的性质、垂径定理及矩形的性质，综合考察的知识点较多，解答此类综合题，需要同学们具备扎实的基本功，将所学知识融会贯通．