如图.已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点.直线y=-x+b经过该反比例函数图象上的点Q(4.m)．(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式,(2)设该直线与x轴.y轴分别相交于A.B两点.与反比例函数图象的另一个交点为点P.连结OP.OQ.求△OPQ的面积,(3)请从图象上直接写出.当x取何值时反比例函数的值小于一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象经过点（$\frac{1}{2}$，8），直线y=-x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）．
（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为点P，连结OP、OQ，求△OPQ的面积；
（3）请从图象上直接写出，当x取何值时反比例函数的值小于一次函数的值？

分析（1）将点（$\frac{1}{2}$，8）代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，将Q坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出Q坐标，将Q坐标代入直线解析式中求出b的值，即可确定出直线解析式；
（2）对于直线AB，令x=0求出对应y的值，确定出B的坐标；令y=0求出对应x的值，确定出A的坐标，进而得出OA与OB的长，三角形OPQ的面积=直角三角形AOB的面积-三角形BOP的面积-三角形AOQ的面积，求出即可；
（3）由P与Q的横坐标，利用函数图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可．

解答解：（1）将x=$\frac{1}{2}$，y=8代入反比例解析式得：8=$\frac{k}{\frac{1}{2}}$=4，即k=4；
∴反比例解析式为y=$\frac{4}{x}$，将Q坐标代入反比例解析式得：m=1，
∴Q（4，1），
将Q坐标代入直线解析式得：1=-4+b，即b=5，
故直线解析式为y=-x+5；
（2）将两函数解析式联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{x}}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴P（1，4），
对于直线y=-x+5，令x=0，求得y=5，令y=0求得x=5，
∴A（5，0），B（0，5），又P（1，4），Q（4，1），
∴OA=5，OB=5，
∴S_△OPQ=S_△AOB-S_△BOP-S_△AOQ
=$\frac{1}{2}$OA•OB-$\frac{1}{2}$OB•x_P横坐标-$\frac{1}{2}$OA•x_Q纵坐标
=$\frac{1}{2}$×5×5-$\frac{1}{2}$×5×1-$\frac{1}{2}$×5×1
=7.5；
（3）由图象可得：当1＜x＜4或x＜0时，反比例函数的值小于一次函数的值．

点评此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，数形结合的思想，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

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