Question

如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4）．动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；
（2）以点C为圆心、

1

2

t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．
①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围；
②当△PAB为等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，得t秒时，点C的横坐标为5-t，纵坐标为0；过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出PQ、DQ再求出OQ，从而得解；
（2）①当点A到达点D时，所用的时间是t的最小值，此时DC=OC-OD=5-t-3=

1

2

t，得到t≥

4

3

；
当圆C在点D左侧且与ED相切时，为t的最大值．
如图，易得Rt△CDF∽Rt△EDO，有

CF

4

=

3-(5-t)

5

，求解得到t的最大值．
②当△PAB为等腰三角形时，有三种情况：PA=AB，PA=PB，PB=AB．根据勾股定理，求得每种情况的t的值．

解答：解：（1）如图，t秒时，有PD=t，DE=5，OE=4，OD=3，
则PQ：EO=DQ：OD=PD：ED，
∴PQ=

4

5

t，DQ=

3

5

t．
∴C（5-t，0），P(3-

3

5

t，

4

5

t)．

（2）
①当⊙C的圆心C由点M（5，0）向左运动，使点A到点D并随⊙C继续向左运动时，
有5-

3

2

t≤3，即t≥

4

3

．
当点C在点D左侧时，过点C作CF⊥射线DE，垂足为F，
则由∠CDF=∠EDO，
得△CDF∽△EDO，
则

CF

4

=

3-(5-t)

5

，
解得CF=

4t-8

5

．
由CF≤

1

2

t，即

4t-8

5

≤

1

2

t，解得t≤

16

3

．
∴当⊙C与射线DE有公共点时，t的取值范围为

4

3

≤t≤

16

3

．

②当PA=AB时，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q．
有PA²=PQ²+AQ²=

16

25

t2+(5-

3

2

t-3+

3

5

t)2．
∴

29

20

t2-

18

5

t+4=t2，
即9t²-72t+80=0，
解得t1=

4

3

，t2=

20

3

．
当PA=PB时，有PC⊥AB，此时P，C横坐标相等，
∴5-t=3-

3

5

t，
解得t₃=5；
当PB=AB时，有
PB2=PQ2+BQ2=

16

25

t2+(5-

1

2

t-3+

3

5

t)2，
∴

13

20

t2+

2

5

t+4=t2，
即7t²-8t-80=0，
解得t4=4，t5=-

20

7

（不合题意，舍去）．
∴当△PAB是等腰三角形时，t=

4

3

，或t=4，或t=5，或t=

20

3

．
又∵C是从M点向左运动的，故t=

4

3

，或t=4，或t=5或t=

20

3

．

点评：本题为代数与几何有一定难度的综合题，它综合考查了用变量t表示点的坐标，直线（射线）与圆的位置关系，相似三角形和方程不等式等方面的知识．
重点考查学生是否认真审题，挖掘出题中的隐含条件，综合运用数学知识解决实际问题的能力，以及运用转化的思想，方程的思想，数形结合的思想和分类讨论的思想解决实际问题的能力．
由于本题入口平台较高，不少学生在第（1）题中就畏缩不前，第（2）题中的第①题中，不少学生把射线DE误为直线，在第（2）题中的第②题，分类讨论不全面．