Question

13．已知A（3m+1，0），B（0，m+5）分别是坐标轴正半轴上的点，OA=OB．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图1，AB=$\sqrt{2}$BO，点D是线段OA上一点，将△BOD沿直线BD翻折，使点O落在AB边上的E点处，点P是直线BD上动点，求△PEA的周长的最小值；
（3）如图2，C、D是y轴上两点，BC=OD，连接AD，过点O作MN⊥AD于点N，交直线AB于点M，连接CM，求∠ADO+∠BCM的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知3m+1=m+5，然后解得m的值，从而可求得点A、B的坐标；
（2）利用勾股定理求得AB的长，三角形的周长最小即PE+PA有最小值，由轴对称的性质可知PE=PO，BC=BE，故此当点P与点D重合时，三角形周长最短；
（3）过点B作BK⊥OC交MN于点K，然后证明△OBK≌△OAD、△MKB≌△MCB，从而可证明∠ADO+∠BCM=180°．

解答 解：（1）∵A（3m+1，0），B（0，m+5）分别是坐标轴正半轴上，且OA=OB．
∴3m+1=m+5．
解得：m=2．
∴3m+1=3×2+1=7，m+5=2+5=7．
∴点A的坐标为（7，0），点B的坐标为（0，7）．
（2）在Rt△ABO中，AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{\sqrt{{7}^{2}+{7}^{2}}}$=7$\sqrt{2}$．
∵点O与点E关于BD对称，
∴OP=OE，OB=BE．
∵△PEA的周长=PE+EA+PA=EA+OP+AP，
∴当点P与点D重合时，△PEA的周长最短，最小值=EA+OP+PA=EA+OA=AB=7$\sqrt{2}$．
（3）过点B作BK⊥OC交MN于点K．

∵MN⊥AD，
∴∠DON+∠NOA=90°．
∴∠KOB+∠NOA=90°．
∵∠NOA+∠NAO=90°，
∴∠KOB=∠DAO．
在△OBK和△OAD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠KBO=∠DOA}\\{OB=OA}\\{∠KOB=∠OAD}\end{array}\right.$，
∴△OBK≌△OAD．
∴KB=OD，∠ODA=∠BKO．
∵BC=OD．
∴KB=BC．
∵∠OB=OA，∠BOA=90°，
∴∠OBA=45°．
∴∠KBM=∠CBM=45°．
在△MKB和△MCB中，$\left\{\begin{array}{l}{MB=MB}\\{∠KBM=∠DBM}\\{KB=DB}\end{array}\right.$，
∴△MKB≌△MCB．
∴∠MKB=∠MCB．
∵∠OKB+∠MKB=180°，
∴∠ADO+∠BCM=180°．

点评 本题主要考查的是轴对称-路径最短、全等三角形的性质和判定、勾股定理、坐标轴上点的坐标特点，证得△OBK≌△OAC、△MBD≌△MBK是解题的关键．