Question

已知：A（a，y₁）．B（2a，y₂）是反比例函数（k＞0）图象上的两点．
（1）比较y₁与y₂的大小关系；
（2）若A、B两点在一次函数第一象限的图象上（如图所示），分别过A、B两点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，且S_△OAB=8，求a的值；
（3）在（2）的条件下，如果3m=-4x+24，，求使得m＞n的x的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵A、B是反比例函数y=（k＞0）图象上的两点，
∴a≠0，
当a＞0时，A、B在第一象限，由a＜2a可知，y₁＞y₂，
同理，a＜0时，y₁＜y₂；

（2）∵A（a，y₁）、B（2a，y₂）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，
∴AC=y₁=，BD=y₂=，
∴y₁=2y₂．
又∵点A（a，y₁）、B（2a，y₂）在一次函数y=-a+b的图象上，
∴y₁=-a+b，y₂=-a+b，
∴-a+b=2（-a+b），
∴b=4a，
∵S_△AOC+S_梯形ACDB=S_△AOB+S_△BOD，
又∵S_△AOC=S_△BOD，
∴S_梯形ACDB=S_△AOB，
∴[（-a+b）+（-a+b）]•a=8，
∴a²=4，
∵a＞0，
∴a=2．

（3）由（2）得，一次函数的解析式为y=-x+8，
反比例函数的解析式为：y=，
A、B两点的横坐标分别为2、4，
且m=-x+8、n=，
因此使得m＞n的x的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点中横坐标的取值范围，
从图象可以看出2＜x＜4或x＜0．
分析：（1）先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再根据函数的增减性及a的符号讨论y₁与y₂的大小；
（2）先根据A（a，y₁）、B（2a，y₂）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，找出y₁、y₂之间的关系，再由A、B两点也在一次函数y=-x+b的图象上可求出y₁、y₂的表达式，代入从反比例函数所求的y₁、y₂之间的关系可求出b与a之间的关系，再由S_△AOC+S_梯形ACDB=S_△AOB+S_△BOD即可解答；
（3）根据（2）中所求的未知数的值即可求出一次函数及反比例函数的解析表达式及A、B两点的横纵坐标，再根据数形结合由两函数图象的交点即可解答．
点评：此题综合考查了一次函数及反比例函数图象上点的坐标特点，用数形结合的方法求不等式的解集，是一道难度较大的题目．