Question

直线AB平行于x轴，与y轴交于点A（0，a），AB=a，经过原点的抛物线y=-x²+bx经过点B，且与直线AB交于另一点C（在B的左边），抛物线的顶点为P．
（1）求抛物线的解析式（用含a的代数式表示）；
（2）用含a的式子表示BC的长；
（3）当a为何值时，△PCB是等腰直角三角形？当a为何值时△PCB是等边三角形？

Answer 1

解：（1）∵A（0，a），AB=a，
∴B点坐标为（a，a），
把B（a，a）代入y=-x²+bx得，a=-a²+ba，
∴b=a+1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+（a+1）x；

（2）C点的纵坐标为a，令y=a，则a=-x²+（a+1）x，解得x₁=1，x₂=a，
∴C点坐标为（1，a），
∴BC的长=a-1；

（3）设抛物线的对称轴交AB于D，连PB，PC，如图，
抛物线的解析式为y=-x²+（a+1）x的顶点P的坐标为（，），
∴PD=-a=，
而BC=a-1，并且PC=PB，
当△PCB是等腰直角三角形，
∴PD=BC，即=（a-1），解得a=3；
当△PCB是等边三角形，
∴PD=BC，即=（a-1），解得a=2+1，
所以当a=3时，△PCB是等腰直角三角形；当a=2+1时△PCB是等边三角形．
分析：（1）先用a表示B点坐标，然后把B点坐标代入抛物线y=-x²+bx，则可用a表示出b；
（2）令y=a，代入（1）中求出的解析式，解方程可得到C点坐标，然后用B点的横坐标减去C点的横坐标即可得到BC的长；
（3）先根据抛物线的顶点公式得到顶点P的坐标，用a表示出AD；当△PCB是等腰直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到PD=BC；当△PCB是等边三角形，根据等边三角形的高等于边长的倍得到PD=BC，这样得到关于a的两个方程，分别解方程即可得到a的值．
点评：本题考查了点在二次函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式以及二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标（-，）．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．