Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，现在有一足够大的直角三角板，它的直角顶点D是BC边上一点，另两条直角边分别交AB、AC于点E、F.

（1）如图1，若DE⊥AB，DF⊥AC，求证：四边形AEDF是矩形

（2）在（1）条件下，若点D在∠BAC的角平分线上，试判断此时四边形AEDF形状，并说明理由；

（3）若点D在∠BAC的角平分线上，将直角三角板绕点D旋转一定的角度，使得直角三角板的两条边与两条直角边分别交于点E、F（如图2），试证明.（尝试作辅助线）

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）正方形，理由见解析 （3）见解析

【解析】

（1）由垂直的定义得到∠AED=∠AFD=90°，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质得到DE=DF，根据正方形的判定定理即可得到矩形AEDF是正方形；
（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，证得四边形AMDN是正方形，由正方形的性质得到AM=DM=DN=AN，∠MDN=∠AMD=90°，由余角的性质得到∠NDF=∠EDM，根据全等三角形的性质得到EM=FN，根据勾股定理得到AD=AM，由于AM=（AM+AN）=（AE+AF），等量代换即可得到结论．

（1）∵DE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形；
（2）四边形AEDF是正方形，
理由：∵点D在∠BAC的 角平分线上，DE⊥AB，BF⊥AC，
∴DE=DF，
∴矩形AEDF是正方形；
（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，

∴∠AMD=∠AND=∠BAC=90°，
∵点D在∠BAC的 角平分线上，
∴DM=DN，
∴四边形AMDN是正方形，
∴AM=DM=DN=AN，∠MDN=∠AMD=90°，
∴∠MDF+∠NDF=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠MDF+∠EDM=90°，
∴∠NDF=∠EDM，
在△EMD与△FND中， ，
∴△EMD≌△FND，
∴EM=FN，
∵∠AMD=90°，
∴AM2+DM2=AD2，
∴AD=AM，
∵AM=（AM+AN）=（AE+AF），
∴AD=×（AE+AF），
∴AE+AF=AD．