Question

如图，已知四边形ABCD是正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PD．
（1）若∠PAB=37°，正方形的边长为5，求PA的长度；
（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（2）若PA=PD，过点P作PE⊥AD，垂足为E，判断直线PE与半圆的位置关系并说明理由．

Answer 1

解：（1）连接PB，如图所示，

∵AB为半圆的直径，
∴∠APB=90°，
在Rt△ABP中，AB=5，∠PAB=37°，
∴cos∠PAB=，即cos37°=0.8=，
∴AP=4；

（2）PE为半圆的切线，理由为：

过P作PO⊥AB，设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∵PE⊥PA，PO⊥AB，
∴∠PEA=∠POA=90°，
∴四边形EAOP是矩形，
∴EA=PO，∠EPO=90°，
∵DP=AP，PE⊥DA，
∴EA=DA=a，
∴PO=a，PO为半圆的半径，
∴PE为半圆的切线．
分析：（1）连接PB，由AB为半圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠APB为直角，在直角三角形APB中，利用余弦函数定义及AB的长，即可求出PA的长；
（2）直线PE与半圆的位置关系为相切，理由为：根据题意画出相应的图形，如图所示，过P作PO⊥AB，由四边形ABCD为正方形，设正方形边长为a，得到∠DAB为直角，再由垂直的定义得到两个角为直角，利用三个角为直角的四边形是矩形得到AOPE为矩形，利用矩形的四个角为直角得到∠EPO为直角，对边相等得到AE=PO，根据DP=AP，PE垂直于AD，利用三线合一得到EA=PO=a，进而确定出PO为圆的半径，直线PE与半圆相切．
点评：此题考查了切线的判定，矩形、正方形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．