分析 作CM⊥BF于M,由AAS证明△BCM≌△ABP,得出BM=AP,再由AAS证明△ABF≌△DAE,得出AF=DE,证出AF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB,证明△ABP∽△FBA,得出$\frac{AP}{BP}=\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{2}$,AP=$\frac{1}{2}$BP,BM=$\frac{1}{2}$BP,即CM垂直平分BP,即可得出结论.
解答 解:作CM⊥BF于M,如图所示:
则∠CMB=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠ABC=90°,AB=BC=CD=DA,
∴∠3+∠2=90°,
∴∠1=∠3,
同理:∠4=∠5,
∵AE⊥BF,
∴∠BPA=90°=∠CMB,
在△BCM和△ABP中,$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}&{\;}\\{∠CMB=∠BPA}&{\;}\\{BC=AB}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△BCM≌△ABP(AAS),
∴BM=AP,
∵AB∥CD,
∴∠4=∠6,
∴∠5=∠6,
在△ABF和△DAE中,$\left\{\begin{array}{l}{∠5=∠6}&{\;}\\{∠BAF=∠ADE}&{\;}\\{AB=DA}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△ABF≌△DAE(AAS),
∴AF=DE,
∵E为CD中点,
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AD,
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB,
∵∠4=∠5,∠BPA=∠BAF,
∴△ABP∽△FBA,
∴$\frac{AP}{BP}=\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{2}$,
∴AP=$\frac{1}{2}$BP,
∴BM=$\frac{1}{2}$BP,
即CM垂直平分BP,
∴PC=BC.
点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识;本题综合性强,有一定难度.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com