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    8．某数学活动小组在一次活动中，对一个数字问题作如下研究：
    【问题发现】如图①，在等边三角形ABC中，点M是BC上任意一点，连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN，判断CN和AB的位置关系：CN∥AB
    【变式探究】如图②，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M是BC边上任意一点（不含端点B，C），连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使顶角∠AMN=∠ABC，MA=MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
    【解决问题】如图③，在正方形ADBC中，点M为BC边上一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中心，连接CN，若正方形ADBC的边长为8，CN=$\sqrt{2}$，直接写出正方形AMEF的边长．

    分析 （1）根据△ABC，△AMN为等边三角形，得到AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°从而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM，即∠BAM=∠CAN，证明△BAM≌△CAN，即可得到BM=CN．
    （2）根据△ABC，△AMN为等腰三角形，得到$\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MN}$=1且∠ABC=∠AMN，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}$，利用等腰三角形的性质得到∠BAC=$\frac{180°-∠B}{2}$，∠MAN=$\frac{180°-∠AMN}{2}$，根据相似三角形的性质即可得到结论；
    （3）根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，根据相似三角形的性质得到 $\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}$，得到BM=2，CM=6根据勾股定理即可得到结论．

    解答 解：（1）CN∥AB，
    ∵△ABC与△MN是等边三角形，
    ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
    ∴∠BAM=∠CAN，
    在△ABM与△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAM=∠CAN}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
    ∴△ABM≌△ACN，
    ∴∠B=∠ACN=60°，
    ∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°，
    ∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°，
    ∴CN∥AB；

    （2）∠ABC=∠ACN，
    理由：∵$\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MN}$=1且∠ABC=∠AMN，
    ∴△ABC～△AMN，
    ∴$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}$，
    ∵AB=BC，
    ∴∠BAC=$\frac{180°-∠B}{2}$，
    ∵AM=MN
    ∴∠MAN=$\frac{180°-∠B}{2}$，
    ∵∠B=∠AMN，
    ∴∠BAM=∠CAN，
    ∴△ABM～△ACN，
    ∴∠ABC=∠ACN；

    （3）
    ∵四边形ADBC，AMEF为正方形，
    ∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，
    ∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC
    即∠BAM=∠CAN，
    ∵$\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AN}$=$\sqrt{2}$，
    ∴$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AC}$，
    ∴△ABM～△ACN
    ∴$\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}$，
    ∴$\frac{CN}{BM}=\frac{AC}{AB}$=cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
    ∴$\frac{\sqrt{2}}{BM}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
    ∴BM=2，
    ∴CM=6
    在Rt△AMC，AC=8，CM=6，
    AM=$\sqrt{A{C}^{2}+M{C}^{2}}$=10，
    答：正方形AMEF的边长为10．

    点评 此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是相似三角形的判定的应用．

    练习册系列答案
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    10．下列计算正确的是（　　）
    A．（-3a2b）3=-3a5b3B．$\frac{1}{2}$ab2•（-4a3b）=-2a4b3
    C．4m3n2÷m3n2=0D．a5-a2=a3

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    19．如图，△ADB、△BCD均为等边三角形，顶点A、C均在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象上，若点A的坐标是（1，a），则点C的横坐标为1+$\sqrt{2}$．

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    16．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC=AB，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．
    （1）如图1所示，若A的坐标是（-3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；
    （2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，求证OA=CD+OD；
    （3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．

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    3．在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．
    （一）尝试探究
    如图1所示，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别在线段BC、CD上，∠EAF=30°，连接EF．
    （1）如图2所示，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合），请直接写出∠E′AF=30度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE+DF=EF．
    （2）如图3，当点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．
    （二）拓展延伸
    如图4，在等边△ABC中，E、F是边BC上的两点，∠EAF=30°，BE=1，将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′（A′B′与AC重合），连接EE′，AF与EE′交于点N，过点A作AM⊥BC于点M，连接MN，求线段MN的长度．

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    A．1个B．2个C．3个D．4个

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    17．计算：
    （1）$\frac{{x}^{2}-xy}{{x}^{2}+2xy+{y}^{2}}$÷$\frac{x}{x+y}$
    （2）$\frac{{a}^{2}}{a-b}$+$\frac{{b}^{2}}{b-a}$．

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