【题目】如图,已知直线AB与x轴、y轴分别交于点A和点B,OA=4,且OA,OB长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两实根,以OB为直径的⊙M与AB交于C,连接CM,交x轴于点N,点D为OA的中点.
(1)求证:CD是⊙M的切线; (2)求线段ON的长.
【答案】(1)证明见解析;(2) NO=.
【解析】试题分析:(1)由OA、OB长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两实根,OA=4,则OA×OB=12,根据根与系数的关系可得OB=3,即可得⊙M的半径为1.5;因BM=CM=1.5,根据等腰三角形的性质可得∠OBA=∠BCM;连结OC,OB是⊙M的直径,则∠ACO=90°,D为OA的中点,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,可得OD=AD=CD=2, 根据等腰三角形的性质可得∠OAC=∠ACD,又因∠OAC+∠OBA=90°,即可得∠BCM+∠ACD=90°,由此即可判定CD是⊙M的切线.(2)先判断△NOM∽△NCD,根据相似三角形的性质求解即可.
试题解析:
(1)OA、OB长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两实根,OA=4,则OA×OB=12,
得OB=3,⊙M的半径为1.5;
∵BM=CM=1.5,
∴∠OBA=∠BCM.
连结OC,OB是⊙M的直径,则∠ACO=90°,D为OA的中点,
∴OD=AD=CD=2,
∴∠OAC=∠ACD,
又∵∠OAC+∠OBA=90°,
∴∠BCM+∠ACD=90°,
∴∠NCD=90°,
∴CD是⊙M的切线.
(2)∵∠CND=∠CND,∠NOM=∠NCD=90°,
∴△NOM∽△NCD,
∴=,即=,
∴NO=.
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【题目】甲、乙两车在同一直线上从A地驶向B地,并以各自的速度匀速行驶,甲车比乙车早出发2h,并且甲车途中休息了0.5h,如图是甲、乙两车离开A地的距离y(km)与甲行驶时间x(h)的函数图象.根据图中提供的信息,有下列说法:(1)m的值为1;(2)a的值为40;(3)乙车比甲车早h到达B地. 其中正确的有( )
A.3个B.2个C.1个D.0个
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【题目】如图①,有一块长为米、宽为米的长方形空地,现计划将这块空地四周均留出2米宽修道路,中间用来绿化.
(1)求绿化的面积(用含、的代数式表示).
(2)若长方形空地的面积为576米2,周长为120米,求绿化的面积.
(3)若在图①的绿化部分再修一条2米宽道路,如图②,求绿化的面积(用含、的代数式表示).
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【题目】某工厂计划生产、两种产品共60件,需购买甲、乙两种材料,生产一件产品需甲种材料4千克,乙种材料1千克;生产一件产品需甲、乙两种材料各3千克,经测算,购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元;购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元.
(1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元?
(2现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元,且生产产品不少于38件,问符合生产条件的生产方案有哪几种?
(3)在(2)的条件下,若生产一件产品需加工费40元,若生产一件产品需加工费50元,应选择哪种生产方案,使生产这60件产品的成本最低?(成本=材料费+加工费)
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【题目】甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车。已知每隔2h有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城。如图,OA是第一列动车组列车离开甲城的路程s(km)与运行时间t(h)的函数图象,BC是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s(km)与运行时间t(h)的函数图象。请根据图中的信息,解答下列问题:
(1)从图象看,普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间___1h(填“早”或“晚”),点B的纵坐标600的实际意义是___;
(2)请直接在图中画出第二列动车组列车离开甲城的路程s(km)与时间t(h)的函数图象;
(3)若普通快车的速度为100km/h,
①求BC的表达式,并写出自变量的取值范围;
②第二列动车组列车出发多长时间后与普通快车相遇?
③请直接写出这列普通快车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的时间间隔.
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【题目】小明用12元买软面笔记本,小丽用21元买硬面笔记本.
(1)已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元,小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗?
(2)已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵a元,是否存在正整数a,使得每本硬面笔记本、软面笔记本的价格都是正整数,并且小明和小丽能买到相同数量的笔记本?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知AB∥CD,在AB,CD内有一条折线EGF.
(1)如图①,过点G作GH∥AB,求证:∠BEG+∠DFG=∠EGF;
(2)如图②,已知∠BEG的平分线与∠DFG的平分线相交于点Q,请探究∠EGF与∠EQF的数量关系,并说明理由.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于点O,连接OC,已知AC=,OC=,则另一直角边BC的长为__________.
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