Question

3．如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为2$\sqrt{5}$+2．

Answer 1

分析 作B关于AC的对称点B′，连接B′D、B′C、BE，得B′C=BC=4，且△BB′C是等腰直角三角形，所以利用勾股定理得DB′的长，所以可以求得△BDE的周长的最小值为2$\sqrt{5}$+2．

解答 解：过B作BO⊥AC于O，延长BO至B′，使BO=B′O，连接B′D，交AC于E，连接BE、B′C，
∴AC为BB′的垂直平分线，
∴BE=B′E，B′C=BC=4，
此时△BDE的周长为最小，
∵∠B′BC=45°，
∴∠BB′C=45°，
∴∠BCB′=90°，
∵D为BC的中点，
∴BD=DC=2，
∴B′D=$\sqrt{B′{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=B′E+DE+BD=DB′+DB=2$\sqrt{5}$+2，
故答案为：2$\sqrt{5}$+2．

点评 本题考查了轴对称-最短路径问题，此类题的解题思路为：先作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的相交，交点就是所要找的动点；此时的值就是最小值．