Question

已知抛物线． (1) 求证此抛物线与x轴有两个不同的交点； (2) 若m是整数，抛物线与x轴交于整数点，求m的值； (3) 在(2)的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B．若M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	如图答所示，(1)证明：令y=0，则．因为，所以，此抛物线与x轴有两个不同的交点．
(2)	因为关于x的方程的根为，由m为整数，当为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点．设(其中n为整数)，所以[n＋(m－2)][n－(m－2)]=4．因为n＋(m－2)与n－(m－2)的奇偶性相同，所以或解得m=2．经检验，当m=2时，关于x的方程有整数根．所以m=2．
(3)	当m=2时，此二次函数解析式为，则顶点A的坐标为(1，－1)．抛物线与x轴的交点为O(0，0)、B(2，0)．设抛物线的对称轴与x轴交于，则(1，0)．在直角三角形中，由勾股定理，得，由抛物线的对称性可得，．又，即．所以△ABO为等腰直角三角形．则．所以(1，0)为所求的点．若满足条件的点在y轴上时，设坐标为(0，y)．过A作AN⊥y轴于N，连结、．则．由勾股定理，有；．即．解得y=1．所以(0，1)为所求的点．综上所述满足条件的M点的坐标为(1，0)或(0，1)．