Question

11．在△ABC中，内角∠BAC和外角∠CBE和∠BCF的角平分线交于点P，AP交BC于D，过B作BG⊥AP于G．
（1）如图1，若∠GBP=45°，求证：AC⊥BC；
（2）在图2上作出△PDC在PC边的高DH，探究∠APB和∠HDC的数量关系．

Answer 1

分析 （1）由∠GBP=45°，∠BGP=90°，得到∠BPG=∠GBP=45°，根据角平分线的定义得到∠EBP=∠CBP，根据三角形外角的性质得到∠EBP=∠BAP+∠APB，∠CBP=∠GBP+∠DBG，由于∠APB=∠GBP，于是得到∠BAP=∠DBG．于是得到结论；
（2）延长BG交AF于Q，连接PQ．由BG⊥AP，得到∠AGB=∠AGQ=90°，推出△ABG≌△AQG，得到BG=QG，于是得到AP垂直平分BQ，∠APB=∠APQ，∠PBQ=∠PQB．由于∠EBC=∠BAC+∠ACB，于是得到∠ACB=∠BPQ，推出B，P，Q，C共圆，（四边形的外角等于对角，四边形共圆），根据圆周角定理得到∠PCB=∠PQB=∠PBQ，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵∠GBP=45°，∠BGP=90°，
∴∠BPG=∠GBP=45°，
∵BP平分∠CBE，
∴∠EBP=∠CBP，
∵∠EBP=∠BAP+∠APB，∠CBP=∠GBP+∠DBG，
∵∠APB=∠GBP，
∴∠BAP=∠DBG．
在△BGD与△ACD中，
∵∠BAP=∠DBG，∠BDG=∠ADC，
∴∠ACD=∠BGD=90°，
∴AC⊥BC．

（2）∠APB=∠HDC，
证明：延长BG交AF于Q，连接PQ．
∵BG⊥AP，
∴∠AGB=∠AGQ=90°，
在△ABG与△AQG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠QAP}\\{AG=AG}\\{∠AGB=∠AGQ}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△AQG，
∴BG=QG，
∴AP垂直平分BQ，∠APB=∠APQ，∠PBQ=∠PQB．
∵∠EBC=2∠EBP=2（∠BAP+∠BPA）=2∠BAP+2∠BPA=∠A+∠BPQ，
又∵∠EBC=∠BAC+∠ACB，
∴∠ACB=∠BPQ，
∴B，P，Q，C共圆，（四边形的外角等于对角，四边形共圆），
∴∠PCB=∠PQB=∠PBQ，
∴∠APB=∠GPB=90°-∠PBG=90°-∠PBQ=90°-∠PQB=90°-∠PCB=90°-∠HCD=∠HDC．

点评 本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．