Question

15．已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，AD、BD是x²-6x+4=0的两根，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 由AD、BD是方程x²-6x+4=0的两根可以得到AD+BD=6，AD•BD=4，易证△DBC∽△DCA，可得到CD=$\sqrt{AD•BD}$=2，而△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×（AD+BD）×CD，由此可以求出面积．

解答 解：∵AD、BD是方程x²-6x+4=0的两根，
∴AD+BD=6，AD•BD=4，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴△DBC∽△DCA，
∴$\frac{CD}{AD}=\frac{DB}{CD}$，
∴CD²=AD•BD，
∴CD=$\sqrt{AD•BD}$=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（AD+BD）×CD=6．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，此题难点是利用相似求得斜边上的高，解题关键是得到所求三角形相应的底与高的长．