Question

10．轮船沿着正北方向航行，在A处看到某目标岛屿C在北偏西30°方向，继续向南航行40海里到B处测得这个岛屿方向变成了北偏西45°，若轮船保持航行的方向，则它与目标岛屿最近距离是多少？（结果精确到1海里，参考数据：$\sqrt{2}=1.414，\sqrt{3}$=1.732）

Answer 1

分析 过点C作CD⊥AB延长线于D．则直角△CBD和直角△ACD有公共边CD，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用CD表示出AD与BD，根据AB=AD-BD即可列方程，从而求得CD的长，即为所求．

解答 解：如图，过点C作CD⊥AB延长线于D．
∵在Rt△BCD中，∠CBD=45°，
∴Rt△BCD是等腰直角三角形，
∴CD=BD．
∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴AD=CD•cot30°=$\sqrt{3}$CD．
∵AB=40海里，AB=AD-BD，
∴40=$\sqrt{3}$CD-CD，则CD=20（$\sqrt{3}$+1）≈55（海里）．
答：它与目标岛屿最近距离约为55海里．

点评 本题主要考查了三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路．