Question

2．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的面积；
（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；
（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理得出AC=8cm，进而表示出AP的长，进而得出答案；
（2）过点P作PD⊥AB于点D，由HL证明Rt△BPD≌Rt△BPC，得出BD=BC=6cm，因此AD=10-6=4cm，设PC=x cm，则PA=（8-x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案．

解答 解：（1）如图1，
∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，
∴AC=8cm，
根据题意可得：PC=2cm，则AP=6cm，
故△ABP的面积为：$\frac{1}{2}$×AP×BC=$\frac{1}{2}$×6×6=18（cm²）；
                             
（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，
∵BP平分∠CBA，
∴PD=PC．                                
在Rt△BPD与Rt△BPC中，$\left\{\begin{array}{l}{PD=PC}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），
∴BD=BC=6 cm，
∴AD=10-6=4 cm．                            
设PC=x cm，则PA=（8-x）cm
在Rt△APD中，PD²+AD²=PA²，
即x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴当t=3秒时，BP平分∠CBA；                             

（3）如图3，

若P在边AC上时，BC=CP=6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
若P在AB边上时，有两种情况：
①如图4，

若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm，
所以用的时间为12s，故t=12s时△BCP为等腰三角形；
②如图5，

若CP=BC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，
根据勾股定理求得BP=7.2cm，
所以P运动的路程为18-7.2=10.8cm，
∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；
③如图6，

若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC
∴PA=PB=5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．
∴t=6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．