Question

【题目】如图：矩形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，A、D在抛物线上，矩形的顶点均为动点，且矩形在抛物线与轴围成的区域里。

（1）设A点的坐标为（， ），试求矩形周长关于变量的函数表达式；

（2）是否存在这样的矩形，它的周长为9，试证明你的结论。

Answer 1

【答案】（1） （2）不存在，证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据抛物线的解析式令y=0，可求出抛物线与x轴两交点的坐标，因为A点的坐标为（x，y），则B点坐标为（x，0），即OB=x，由抛物线的对称性可知EC=x，则BC=4-2x，再根据矩形的面积公式可求出矩形周长p关于变量x的函数表达式；

（2）先假设符合条件的矩形存在，把9代入（1）所求的矩形周长公式，根据一元二次方程判别式的情况判断出方程解的情况即可判断P是否存在．

试题解析：(1)令=0

得：x1=0,x2=4.

则抛物线与坐标轴两交点的坐标为O(0，0)、E(4，0)

设OB=x，由抛物线的对称性可知EC=x，则BC=42x.

P=2(42x+y)=2(42x )

P=

(2)不存在。

若存在周长为9的矩形ABCD,则=9

①4x24x+3=0，△=1648<0

方程①无实数根，即不存在这样的矩形。