Question

如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限只有一个交点A，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，OA=

5

，sin∠ABO=

2 5

5

．
（1）求点A的坐标及反比例函数解析式；
（2）求一次函数的解析式．

Answer 1

分析：利用垂直平分线的性质求出AD的值，再根据已知条件求出点A的坐标（1，2），再根据点A的坐标求出反比例函数解析式y=

k

x

(k≠0)中k的值，即可求出反比例函数的解析式为y=

2

x

；根据点A的坐标及垂直平分线的性质求出点B的坐标（2，0），将A（1，2），B（2，0）代入求出a，b的值得到一次函数的解析式为y=-2x+4．

解答：解：（1）∵AD垂直平分OB，
∴OA=AB=

5

．
∵sin∠ABO=

2 5

5

，
∴

AD

AB

=

2 5

5

，
∴AD=2．
∴BD=

( 5 )2-22

=1．
∵OD=BD，
∴OD=1．
∴A（1，2）．
设反比例函数的解析式为y=

k

x

(k≠0)，
将A（1，2）代入：k=1×2=2．
∴反比例函数的解析式为y=

2

x

．

（2）∵A（1，2），OD=DB=1，∴OB=2，
∴B（2，0）．
设一次函数的解析式为y=ax+b（a≠0），
∴

a+b=2 2a+b=0

，
解得

a=-2 b=4

，
∴一次函数的解析式为y=-2x+4．

点评：本题综合考查了垂直平分线的性质，反比例函数的解析式，点的坐标的特点以及一次函数的解析式的求法．