Question

12．如图，AB是⊙O的直径，直线BM经过点B，点C在右半圆上移动（与点A、B不重合），过点C作CD⊥AB，垂足为D，连接CA、CB，∠CBM=∠BAC，点F在射线BM上移动（点M在点B的右边），在移动过程中始终保持OF∥AC．
（1）求证：BM为⊙O的切线；
（2）若CD、FO的延长线相交于点E，判断是否存在点E，使得点E恰好在⊙O上？若存在，求∠E；若不存在，请说明理由；
（3）连接AF交CD于点G，记k=$\frac{CG}{CD}$，试问：k的值是否随点C的移动而变化？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出∠OBM=90°，再利用切线的判定方法得出答案；
（2）首先利用全等三角形的判定方法得出△EOD≌△CAD（ASA），进而得出∠E的度数；
（3）首先得出△ADC∽△OBF，进而求出△ADG∽△ABF，再利用相似三角形的性质得出，$\frac{AD}{OB}$=$\frac{2DG}{BF}$=$\frac{DC}{BF}$，推出DG=GC，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：由题意知∠ACB=90°，
∴∠OBM=∠ABC+∠CBF=∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=90°，
∴OB⊥BM，
∴BM为⊙O的切线；

（2）解：假设存在点E，如图1，
∵CD⊥AB，
∴DE=DC，
∵OF∥AC，
∴∠ACE=∠CEF，
在△EOD和△CAD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠ACE}\\{ED=DC}\\{∠EDO=∠ADC}\end{array}\right.$，
∴△EOD≌△CAD（ASA），
∴OD=DA，
在Rt△OED中，
sin∠OED=$\frac{OD}{OE}$=$\frac{OD}{OA}$=$\frac{OD}{2OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠E=30°；

（3）解：如图2，
点E存在，k的值不会变化，k=$\frac{1}{2}$，
理由：∵点C在右半圆上移动（与点A、B不重合），且AC∥OF，
∴∠CAD=∠FOB，
∵∠ABF=90°，DC⊥AB，
∴∠ADC=∠ABF，
∴∠ADC=∠ABF，
∴△ADC∽△OBF，
∴$\frac{AD}{OB}$=$\frac{DC}{BF}$，
又∵∠DAG=∠BAF，∠ADG=∠ABF=90°，
∴△ADG∽△ABF，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DG}{BF}$，
又∵AB=2OB，
∴$\frac{AD}{2OB}$=$\frac{DG}{BF}$，即$\frac{AD}{OB}$=$\frac{2DG}{BF}$=$\frac{DC}{BF}$，
∴DC=2DG，即DG=GC，
∴k=$\frac{GC}{DC}$=$\frac{1}{2}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质以及切线的判定与性质等知识，得出△ADG∽△ABF是解题关键，属于中考常考题型．