Question

11．下列方程中有实数解的是④．
①x+$\frac{x}{x-3}$=3+$\frac{x}{x-3}$      ②x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+x-$\frac{1}{x}$-1=0
③$\sqrt{x-6}$=4-x          ④$\sqrt{x+2}$=-3x．

Answer 1

分析 ①根据分式有意义的条件即可判断；
②设x-$\frac{1}{x}$=y，则x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=y²+2，利用换元法即可求解；
③根据二次根式有意义的条件即可判断；
④两边平方即可求解．

解答 解：①方程两边减去$\frac{x}{x-3}$得x=3，当x=3时方程无意义，则方程没有实数根；
②设x-$\frac{1}{x}$=y，则x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=y²+2．
则原方程即y²+2+y-1=0，即y²+y+1=0．△=1-4=-3无解，则方程②没有实数解；
③根据题意得x-6≥0，解得：x≥6，
当x≥6时，4-x＜0，则方程没有实数解；
④两边平方得x+2=9x²，解得：x=$\frac{1±\sqrt{73}}{18}$．
x=$\frac{1-\sqrt{73}}{18}$是方程的解．
故答案是：④．

点评 本题考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法．