Question

如图，已知△ABC中，点D、F、E分别是AB、BC、AC的中点．
（1）试说明：AF与DE互相平分；
（2）当△ABC的边或角满足什么条件时，AF与DE相等？说明理由；
（3）当△ABC的边或角满足什么条件时，AF与DE垂直？说明理由．

Answer 1

解：（1）连接DF、EF．
∵点D、F、E分别是AB、BC、AC的中点，
∴DF∥AC，EF∥AB．
∴ADFE是平行四边形．
∴AF与DE互相平分；

（2）∵DE=BC，
∴若AF=DE，则AF=BC，
又AF是中线，
所以可得∠BAC=90°．
即当∠BAC=90°时，AF与DE相等；

（3）∵AF与DE互相平分，
∴若AF与DE垂直，则AD=AE．
又D、E分别是AB、AC的中点，
∴AB=AC．
即当AB=AC时，AF与DE垂直．
分析：（1）连接DF、EF．根据中位线定理证明ADFE是平行四边形；
（2）用分析法找条件．因为DE=BC，若AF=DE，则AF=BC，又AF是中线，所以可得∠BAC=90°；
（3）因为ADFE是平行四边形，若AF与DE垂直，则ADFE是菱形，有AD=AE．又D、E分别是AB、AC的中点，得AB=AC．
点评：本题考查的知识比较全面，需要用到三角形中位线定理和平行四边形的性质，以及直角三角形的一种判定方法：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形．