Question

19．两张宽度均为4的矩形纸片按如图所示方式放置
（1）如图①，求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如图②，点P在BC上，PF⊥AD于F，若S_{四边形ABCD}=16$\sqrt{2}$，PB=2，i．求∠BAD的度数；ii．求DF的长．

Answer 1

分析 （1）过点D作DE⊥AB于E，作DQ⊥BC于Q，构造全等三角形，得出AD=CD，再根据AB∥CD，AD∥BC，得到四边形ABCD是平行四边形，进而得出四边形ABCD是菱形；
（2）①先根据菱形的面积求得菱形的边长，再根据sin∠DAE的值，求得∠BAD的度数；②根据CP=4$\sqrt{2}$-2，以及∠PCG=∠BAD=45°，求得PG=4$\sqrt{2}$-2，再根据FG=PF-PG=6-4$\sqrt{2}$，以及∠CDF=45°=∠DGF，即可得到DF=FG=6-4$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）如图1，过点D作DE⊥AB于E，作DQ⊥BC于Q，则∠AED=∠CQD=90°，
∵矩形纸片宽度均为4，
∴DE=DQ，
又∵∠CDE=∠ADQ=90°，
∴∠ADE=∠CDQ，
在△ADE和△CDQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CDQ}\\{DE=DQ}\\{∠AED=∠CQD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDQ（ASA），
∴AD=CD，
又∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）①如图1，∵S_{四边形ABCD}=16$\sqrt{2}$，
∴AB×DE=16$\sqrt{2}$，即AB×4=16$\sqrt{2}$，
∴AB=4$\sqrt{2}$=AD，
∴sin∠DAE=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{4}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠BAD=45°；

②如图2，∵菱形ABCD中，AB=BC=4$\sqrt{2}$，而PB=2，
∴CP=4$\sqrt{2}$-2，
又∵PF⊥AD，AD∥BC，
∴PF⊥BC，
又∵∠PCG=∠BAD=45°，
∴PG=4$\sqrt{2}$-2，
∴FG=PF-PG=4-（4$\sqrt{2}$-2）=6-4$\sqrt{2}$，
又∵∠CDF=45°=∠DGF，
∴DF=FG=6-4$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．解题时注意：一组邻边相等的平行四边形是菱形．