如图1.在△ABC中.∠BAC=90°.AB=AC．(1)若点M为AC上的任意一点.过M作MN⊥BC于点N.取BM的中点D.连接AD.DM.求证:AD=DN．(2)如图2.若M为BC上的任意一点.以线段CM为底边作等腰Rt△MCN.此时.取BM的中点D.连接AD.DN.则AD与DN有怎样的数量关系?说明理由．的条件下将Rt△MNC绕C点旋转任意角度.连接BM.取BM的中� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）若点M为AC上的任意一点，过M作MN⊥BC于点N，取BM的中点D，连接AD、DM，求证：AD=DN．
（2）如图2，若M为BC上的任意一点，以线段CM为底边作等腰Rt△MCN，此时，取BM的中点D，连接AD、DN，则AD与DN有怎样的数量关系？说明理由．
（3）如图3，在（2）的条件下将Rt△MNC绕C点旋转任意角度，连接BM，取BM的中点D，再连接AD、DN，则（2）中的结论仍然成立吗，它们之间又有怎样的位置关系？请说明理由．

分析（1）如图1中，延长AD到K，使得DK=AD，连接AN、KN、KM．首先证明△ADB≌△KDM，再证明△ANC≌△KNM，推出△ANK是等腰直角三角形即可解决问题．
（2）结论：AD=DN．延长AD到K，使得DK=AD，连接AN、KN、KM．首先证明△ADB≌△KDM，再证明△ANC≌△KNM，推出△ANK是等腰直角三角形即可解决问题．
（3）结论：AD=DN，AD⊥DN．延长AD到K，使得DK=AD，连接AN、KN、KM．首先证明△ADB≌△KDM，再证明△ANC≌△KNM，推出△ANK是等腰直角三角形即可解决问题．

解答（1）证明：解法一：如图1中，延长AD到K，使得DK=AD，连接AN、KN、KM．

在△ADB和△KDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DK}\\{∠ADB=∠KDM}\\{BD=DM}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△KDM，
∴AB=KM=AC，∠BAD=∠MKD，
∴AB∥KM，
∴∠KMC=∠BAC=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=45°，∵MN⊥BC，
∴∠MNC=90°，∠NMC=45°=∠KMC=∠C，
∴MN=NC，
在△ANC和△KNM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CN=MN}\\{∠ACN=∠KMN}\\{AC=KM}\end{array}\right.$，
∴△ANC≌△KNM，
∴AN=KN，∠ANC=∠KNM，
∴∠KNA=∠MNC=90°
∵AD=DK，
∴DN=AD=DK，
即AD=DN．
解法二：根据直角三角形斜边中线性质，可知AD=$\frac{1}{2}$BM，DN=$\frac{1}{2}$BM，由此即可证明．

（2）如图2中，结论：AD=DN．
理由：延长AD到K，使得DK=AD，连接AN、KN、KM．

在△ADB和△KDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DK}\\{∠ADB=∠KDM}\\{BD=DM}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△KDM，
∴AB=KM=AC，∠BAD=∠MKD，
∴AB∥KM，
∴∠KMD=∠B=45°，
∵∠NMC=∠NCM=∠ACB=45°
∴MN=NC，∠KMN=∠ACN=90°
在△ANC和△KNM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CN=MN}\\{∠ACN=∠KMN}\\{AC=KM}\end{array}\right.$，
∴△ANC≌△KNM，
∴AN=KN，∠ANC=∠KNM，
∴∠KNA=∠MNC=90°
∵AD=DK，
∴DN=AD=DK，
即AD=DN．

（3）如图3中，结论：AD=DN，AD⊥DN．
理由：延长AD到K，使得DK=AD，连接AN、KN、KM，延长KN交AC于G．

在△ADB和△KDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DK}\\{∠ADB=∠KDM}\\{BD=DM}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△KDM，
∴AB=KM=AC，∠BAD=∠MKD，
∴AB∥KM，
∴∠KGC=∠BAC=90°，
∴∠ACN+∠NMG=180°，
∵∠KMN+∠NMG=180°，
∴∠ACN=∠NMK，
在△ANC和△KNM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CN=MN}\\{∠ACN=∠KMN}\\{AC=KM}\end{array}\right.$，
∴△ANC≌△KNM，
∴AN=KN，∠ANC=∠KNM，
∴∠KNA=∠MNC=90°
∵AD=DK，
∴DN=AD=DK，DN⊥AK，
即AD=DN．AD⊥DN．

点评本题考查几何变换综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，记住图形发生变化，结论不变，证明的方法也是类似的，属于中考压轴题．

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