Question

20．某手机店销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元，销售相同数量的A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元．
（1）求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元？
（2）该商店计划一次购进两种型号的手机共110部，其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍．设购进B型手机n部，这110部手机的销售总利润为y元．
①求y关于n的函数关系式；
②该手机店购进A型、B型手机各多少部，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜100）元，且限定商店最多购进B型手机80台．若商店保持两种手机的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这110部手机销售总利润最大的进货方案．

Answer 1

分析 （1）设每部A型手机的销售利润为x元，每部B型手机的销售利润为y元，根据题意列出方程组求解；
（2）①据题意得，y=-50n+16500，
②利用不等式求出n的范围，又因为y=-50x+16500是减函数，所以n取37，y取最大值；
（3）据题意得，y=150（110-n）+（100+m）n，即y=（m-50）n+16500，分三种情况讨论，①当30＜m＜50时，y随n的增大而减小，②m=50时，m-50=0，y=16500，③当50＜m＜100时，m-50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．

解答 解：（1）设每部A型手机的销售利润为x元，每部B型手机的销售利润为y元，
根据题意，得：$\left\{\begin{array}{l}{x-y=50}\\{\frac{3000}{x}=\frac{2000}{y}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=150}\\{y=100}\end{array}\right.$，
答：每部A型手机的销售利润为150元，每部B型手机的销售利润为100元；

（2）①设购进B型手机n部，则购进A型手机（110-n）部，
则y=150（110-n）+100n=-50n+16500，
其中，110-n≤2n，即n≥36$\frac{2}{3}$，
∴y关于n的函数关系式为y=-50n+16500 （n≥36$\frac{2}{3}$）；
②∵-50＜0，
∴y随n的增大而减小，
∵n≥36$\frac{2}{3}$，且n为整数，
∴当n=37时，y取得最大值，最大值为-50×37+16500=14650（元），
答：购进A型手机73部、B型手机37部时，才能使销售总利润最大；

（3）根据题意，得：y=150（110-n）+（100+m）n=（m-50）n+16500，
其中，36$\frac{2}{3}$≤n≤80，
①当30＜m＜50时，y随n的增大而减小，
∴当n=37时，y取得最大值，
即购进A型手机73部、B型手机37部时销售总利润最大；
②当m=50时，m-50=0，y=16500，
即商店购进B型电脑数量满足36$\frac{2}{3}$≤n≤80的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜100时，y随n的增大而增大，
∴当n=80时，y取得最大值，
即购进A型手机30部、B型手机80部时销售总利润最大．

点评 本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数n值的增大而确定y值的增减情况．