Question

有一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，问：
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）按照这样的速度，三轮传染后有多少人患流感？
（3）设前n轮传染的平均数为S₁，前n-1轮传染的平均数为S₂，是否存在一个正整数K，使S₁=KS₂？若存在求出所有K的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）=144，解方程即可求解．
（2）根据（1）中所求数据，进而表示出经过三轮传染后患上流感的人数．
（3）设存在正整数k，然后分别表示出S₁和S₂，然后求得其比值为正整数即可解答．

解答：解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）=144，即（1+x）²=144
解方程得x₁=11，x₂=-13（舍去）
答：每轮传染中平均一人传染了11人．
（2）经过三轮传染后患上流感的人数为：144+11×144=1728（人），
答：经过三轮传染后患上流感的人数为1728人．
（3）
∵根据题意得：第一轮有12=12¹人患感冒，
第二轮有144=12²人患感冒，
第三轮有1728=12³人患感冒，
…
∴第n轮共有12ⁿ人患感冒，第n-1轮共有12^n-1人患感冒，
∴S₁=

12n

n

，
S₂=

12n-1

n

∴k=

S1

S2

=

12n

12n-1

=12，
∴在一个正整数k=12，使S₁=KS₂．

点评：本题考查了一元二次方程的应用，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解．