Question

13．如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．

（1）将?ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段AE，GF；S_矩形AEFG：S_?ABCD=1：2．
（2）?ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长；
（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出操作形成的折痕分别是线段AE、GF；由折叠的性质得出△ABE的面积=△AHE的面积，四边形AHFG的面积=四边形DCFG的面积，得出S_矩形AEFG=$\frac{1}{2}$S_?ABCD，即可得出答案；
（2）由矩形的性质和勾股定理求出FH，即可得出答案；
（3）折法1中，由折叠的性质得：AD=BG，AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4，CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=5，GM=CM，∠FMC=90°，由叠合正方形的性质得出BM=FM=4，由勾股定理得出GM=CM=$\sqrt{C{F}^{2}-F{M}^{2}}$=3，得出AD=BG=BM-GM=1，BC=BM+CM=7；
折法2中，由折叠的性质得：四边形EMHG的面积=$\frac{1}{2}$梯形ABCD的面积，AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4，DG=NG，NH=CH，BM=FM，MC=CN，求出GH=$\frac{1}{2}$CD=5，由叠合正方形的性质得出EM=GH=5，正方形EMHG的面积=5²=25，由勾股定理求出FM=BM=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，设AD=x，则MN=FM+FN=3+x，由梯形ABCD的面积得出BC=$\frac{25}{2}$-x，求出MC=BC-BM=$\frac{25}{2}$-x-3，由MN=MC得出方程，解方程求出AD=$\frac{13}{4}$，BC=$\frac{37}{4}$；
折法3中，由折叠的性质、正方形的性质、勾股定理即可求出BC、AD的长．

解答 解：（1）根据题意得：操作形成的折痕分别是线段AE、GF；
由折叠的性质得：△ABE≌△AHE，四边形AHFG≌四边形DCFG，
∴△ABE的面积=△AHE的面积，四边形AHFG的面积=四边形DCFG的面积，
∴S_矩形AEFG=$\frac{1}{2}$S_?ABCD，
∴S_矩形AEFG：S_?ABCD=1：2；
故答案为：AE，GF，1：2；
（2）∵四边形EFGH是矩形，
∴∠HEF=90°，
∴FH=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
由折叠的性质得：AD=FH=13；
（3）有3种折法，如图4、图5、图6所示：
①折法1中，如图4所示：
由折叠的性质得：AD=BG，AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4，CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=5，GM=CM，∠FMC=90°，
∵四边形EFMB是叠合正方形，
∴BM=FM=4，
∴GM=CM=$\sqrt{C{F}^{2}-F{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴AD=BG=BM-GM=1，BC=BM+CM=7；
②折法2中，如图5所示：
由折叠的性质得：四边形EMHG的面积=$\frac{1}{2}$梯形ABCD的面积，AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4，DG=NG，NH=CH，BM=FM，MN=MC，
∴GH=$\frac{1}{2}$CD=5，
∵四边形EMHG是叠合正方形，
∴EM=GH=5，正方形EMHG的面积=5²=25，
∵∠B=90°，
∴FM=BM=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
设AD=x，则MN=FM+FN=3+x，
∵梯形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$（AD+BC）×8=2×25，
∴AD+BC=$\frac{25}{2}$，
∴BC=$\frac{25}{2}$-x，
∴MC=BC-BM=$\frac{25}{2}$-x-3，
∵MN=MC，
∴3+x=$\frac{25}{2}$-x-3，
解得：x=$\frac{13}{4}$，
∴AD=$\frac{13}{4}$，BC=$\frac{25}{2}$-$\frac{13}{4}$=$\frac{37}{4}$；
③折法3中，如图6所示，作GM⊥BC于M，
则E、G分别为AB、CD的中点，
则AH=AE=BE=BF=4，CG=$\frac{1}{2}$CD=5，正方形的边长EF=GF=4$\sqrt{2}$，
GM=FM=4，CM=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴BC=BF+FM+CM=11，FN=CF=7，DH=NH=8-7=1，
∴AD=5．

点评 本题是四边形综合题目，考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、梯形面积的计算、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度．