Question

已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD，推出∠CDA=∠CAD=∠CPM，求出∠MPF=∠CDM，∠PMF=∠BMA=∠CMD，在△DCM和△PMF中根据三角形的内角和定理求出即可．

解答：解：∠F=∠MCD，
理由是：∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，
∴∠CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°，
在△ACE和△ABE中
∵

∠AEC=∠AEB AE=AE ∠CAE=∠BAE

，
∴△ACE≌△ABE（ASA）
∴AB=AC，
∵∠CAE=∠CDE
∴AM是BC的垂直平分线，
∴CM=BM，CE=BE，
∴∠CMA=∠BMA，
∵AE=ED，CE⊥AD，
∴AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∵∠BAC=2∠MPC，
又∵∠BAC=2∠CAD，
∴∠MPC=∠CAD，
∴∠MPC=∠CDA，
∴∠MPF=∠CDM，
∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等），
∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°，∠F+∠MPF+∠PMF=180°，
又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，
∴∠MCD=∠F．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定等知识点的综合运用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，题目比较典型，但是一道比较难的题目．