Question

4．如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
（2）设过（1）中的直线EF的解析式为y=ax+b，直接写出不等式ax+b＜$\frac{k}{x}$的解集．
（3）当k为何值时，△AEF的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）由条件可求得F点坐标为（3，1），代入函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式，再令y=2代入可求得x的值，可求得E点坐标；
（2）由（1）的条件中E、F的坐标，结合函数图象可求得答案；
（3）可用k分别表示出点E、F的坐标，从而可表示出△AEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵四边形OABC为矩形，OA=3，OC=2，
∴AB=2，BC=3，
∵F为AB的中点，
∴点F坐标为（3，1），
∵点F在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=3×1=3，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{3}{x}$，
∵点E在BC上，
∴E点纵坐标为2，
在y=$\frac{3}{x}$中，令y=2，可求x=$\frac{3}{2}$，
∴E点坐标为（$\frac{3}{2}$，2）；
（2）不等式ax+b＜$\frac{k}{x}$的解集即直线在反比例函数下方时对应的自变量的取值范围，
由（1）可知点E、F两点的横坐标分别为$\frac{3}{2}$、3，
∴不等式ax+b＜$\frac{k}{x}$的解集为：0＜x＜$\frac{3}{2}$或x＞3；
（3）由题意可知点E的纵坐标为为2，点F的横坐标为3，且E、F在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴可设E（$\frac{k}{2}$，2），F（3，$\frac{k}{3}$），
∴AF=$\frac{k}{3}$，CE=$\frac{k}{2}$，
∴BE=BC-CE=3-$\frac{k}{2}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AF•BE=$\frac{1}{2}$•$\frac{k}{3}$•（3-$\frac{k}{2}$）=-$\frac{1}{12}$k²+$\frac{k}{2}$=-$\frac{1}{12}$（k-3）²+$\frac{3}{4}$，
∵-$\frac{1}{12}$＜0，
∴S_△AEF是关于k的开口向下的抛物线，
∴当k=3时，S_△AEF有最大值，最大值为$\frac{3}{4}$，
即当k的值为3时，△AEF的面积最大，最大面积为$\frac{3}{4}$．

点评 本题为反比例函数综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、函数与不等式、反比例函数图象上的点的坐标特征、二次函数的最值及数形结合思想等知识点．在（1）中求得F、E点的坐标是解题的关键，在（2）中注意数形结合，在（3）中用k表示出△AEF的面积是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度适中．