Question

4．如图所示，已知AP、CP分别是△ABC的外角∠DAC、∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M、N．求证：
（1）PM=PN；
（2）点P在∠B的平分线上．

Answer 1

分析 （1）过点P作PF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PM=PF，PN=PF，等量代换即可得证；
（2）根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．

解答 证明：（1）如图，过点P作PF⊥AC于F，
∵AP是∠DAC的平分线，PM⊥BD，
∴PM=PF，
∵CP是∠ECA的平分线，PN⊥BE，
∴PN=PF，
∴PM=PN；

（2）∵PM⊥BD，PN⊥BE，PM=PN，
∴点P在∠B的平分线上．

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质与定理是解题的关键，难点在于作辅助线．