Question

（2012•锦江区一模）如图，已知一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y=

4-2m

x

（x＞0）图象于点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D，若点A的坐标是（2，-4），且

BC

AB

=

1

3

．
（1）求m的值和一次函数的解析式；
（2）连接OA，求△OAC的面积．

Answer 1

分析：（1）过A作AE垂直于OC，交OC于点E，过B作BF⊥OC，交OC于点F，先把点A的坐标代入反比例函数表达式求出m的值，从而的反比例函数解析式，设点B的坐标为B（x，y），利用相似三角形对应边成比例求出y的值，然后代入反比例函数解析式求出点B的坐标，设出一次函数解析式为y=kx+b，将A和B的坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出一次函数解析式；
（2）由第一问求出的一次函数解析式，令y=0求出x的值，即为C的横坐标，确定出OC的长，由A的纵坐标确定出AE的长，以OC为底，AE为高，利用三角形的面积公式即可求出三角形AOC的面积．

解答：解：（1）过A作AE⊥OC，交OC于点E，过B作BF⊥OC，交OC于点F，
∵点A（2，-4）在反比例函数图象上，
∴

4-2m

2

=-4，
解得：m=6，
∴反比例函数解析式为y=-

8

x

，
∵∠AEC=∠BFC=90°，且∠BCF=∠ACE，
∴△BCF∽△ACE，
∴

BF

AE

=

BC

AC

，
∵

BC

AB

=

1

3

，∴

BC

AC

=

1

4

，
设点B的坐标为（x，y），
则点B到x轴的距离为-y，又点A到x轴的距离为4，
∴

-y

4

=

BC

AC

=

1

4

，
解得y=-1，
∴-

8

x

=-1，
解得：x=8，
∴点B的坐标是B（8，-1），
设这个一次函数的解析式为y=kx+b，
∵点A、B是直线与反比例函数图象的交点，
∴

2k+b=-4 8k+b=-1

，
解得：

k= 1 2 b=-5

，
则一次函数解析式为y=

1

2

x-5；


（2）令y=

1

2

x-5中y=0，
解得：x=10，
则C（10，0），即OC=10，
又∵A（2，-4），
∴AE=4，
则S_△AOC=

1

2

OC•AE=

1

2

×4×10=20．

点评：此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，比例的性质，坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，是一道较难的试题．