Question

【题目】已知△ABC是等边三角形，四边形ADEF是菱形，∠ADE=120°（AD＞AB）．

（1）如图①，当AD与边BC相交，点D与点F在直线AC的两侧时，BD与CF的数量关系为___________．

（2）将图①中的菱形ADEF绕点A在平面内逆时针旋转α（0°＜α＜180°）．

Ⅰ．判断（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②证明你的结论．

Ⅱ．若AC=4，AD=6，当△ACE为直角三角形时，直接写出CE的长度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）I（1）中的结论仍然成立，理由详见解析；II或

【解析】

（1）根据等式的性质得出∠BAD=∠CAF，利用SAS证明△ABD与△ACF全等，再利用全等三角形的性质得出即可；

（2）I．根据等式的性质得出∠BAD=∠CAF，利用SAS证明△ABD与△ACF全等，再利用全等三角形的性质得出即可；

II．当△ACE是直角三角形时，存在两种情况：

①如图2，当∠ACE=90°时，②如图3，当∠EAC=90°时，勾股定理即可得CE的长．

（1）解：如图①，∵四边形ADEF是菱形，∠ADE=120°，

∴AD=AF，∠DAF=60°，

∴∠DAC+∠CAF=60°，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∴∠BAD+∠DAC=60°，

∴∠BAD=∠CAF，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD=CF；

故答案为：BD=CF；

（2）I．（1）中的结论仍然成立．

证明：如图②，∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

在菱形ADEF中，

∴AD=AF，AF∥DE，

∴∠DAF=180°-∠ADE=180°-120°=60°，

∴∠BAC=∠DAF，

即∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAF，

∴△BAD≌△CAF，

∴BD=CF；

II．当△ACE是直角三角形时，存在两种情况：

①如图2，当∠ACE=90°时，过F作FG⊥AE于G，

∵四边形ADEF是菱形，

∴AF=FE，∠AFE=∠ADE=120°，

∴∠AFG=60°，

∴∠FAG=30°，

∵AF=AD=6，

∴FG=3，

∴AG=3，

∴AE=2AG=6，

Rt△ACE中，CE==；

②如图3，当∠EAC=90°时，同理得：AE=6，

由勾股定理得：CE==．

综上所述，CE的长为或．