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如图1,已知直线y=-
1
2
x+m与反比例函数y=
k
x
的图象在第一象限内交于A、B两点(点A在点B的左侧),分别与x、y轴交于点C、D,AE⊥x轴于E.
(1)若OE•CE=12,求k的值.
(2)如图2,作BF⊥y轴于F,求证:EF∥CD.
(3)在(1)(2)的条件下,EF=
5
,AB=2
5
,P是x轴正半轴上的一点,且△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形,求P点的坐标.
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分析:(1)分别设出一次函数解析式和反比例函数的解析式,代入点A的坐标,即可得出各解析式.
(2)连接AF、BE,过E、F分别作FM⊥AB,EN⊥AB,得出FM∥EN,再根据AE⊥x轴,BF⊥y轴,得出AE⊥BF,由此得出S△AEF=S△BEF,最后证出FM=EN,得出四边形EFMN是矩形,由此证出EF∥CD;
(3)由(2)得出EF=AD=BC和CD的值,再由直线解析式可得OD=m,OC=2m,得出OD=4,再根据EF∥CD,得出OF和0E、DF的值,最后根据EF=
5
,AB=2
5
得出EP的值,即可求出P点的坐标;
解答:(1)解:设OE=a,则A(a,-
1
2
a+m),
∵点A在反比例函数图象上,∴a(-
1
2
a+m)=k,即k=-
1
2
a2+am,
由一次函数解析式可得C(2m,0),
∴CE=2m-a,
∴OE.CE=a(2m-a)=-a2+2am=12,
∴k=
1
2
(-a2+2am)=
1
2
×12=6.

(2)证明:连接AF、BE,过E、F分别作FM⊥AB,EN⊥AB,精英家教网
∴FM∥EN,
∵AE⊥x轴,BF⊥y轴,
∴AE⊥BF,
S△AEF=
1
2
AE•OE=
k
2

S△BEF=
1
2
BF•OF=
k
2

∴S△AEF=S△BEF
∴FM=EN,
∴四边形EFMN是矩形,
∴EF∥CD;

(3)解:由(2)可知,EF=AD=BC=
5

∴CD=4
5

由直线解析式可得OD=m,OC=2m,
∴OD=4,
又EF∥CD,
∴OE=2OF,
∴OF=1,0E=2,
∴DF=3,
∴AE=DF=3,
∵AB=2
5

∴AP=
10

∴EP=1,
∴P(3,0).
点评:此题考查了反比例函数的综合题;解题的关键是画出图象,找出对应关系;这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图1,已知直线:y=
3
3
x+
3
与直角坐标系xOy的x轴交于点A,与y轴交于点B,点M为x轴正半轴上一点,以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于B点,交x轴于C、D两点,与y轴交于另一点E.
(1)求圆心M的坐标;
(2)如图2,连接BM延长交⊙M于F,点N为
CF
上任一点,连DN交BF于Q,连FN并延长交x轴于点P.则CP与MQ有何数量关系?证明你的结论;
(3)如图3,连接BM延长交⊙M于F,点N为
CF
上一动点,NH⊥x轴于H,NG⊥BF于G,连接GH,当N点运动时,下列两个结论:①NG+NH为定值;②GH的长度不变;其中只有一个是正确的,请你选择正确的结论加以证明,并求出其值?精英家教网

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图1,已知直线l的解析式为y=
43
x+4
,它与x轴、y轴分别相交于A、B两点.点C从点O出发沿OA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动;点D从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,点C、D同时出发,当点C到达点A时同时停止运动.伴随着C、D的运动,EF始终保持垂直平分CD,垂足为E,且EF交折线AB-BO-AO于点F.
(1)直接写出A、B两点的坐标;
(2)设点C、D的运动时间是t秒(t>0).
①用含t的代数式分别表示线段AD和AC的长度;
②在点F运动的过程中,四边形BDEF能否成为直角梯形?若能,求t的值;若不能,请说明理由.(可利用备用图解题)
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图1,已知直线y=kx与抛物线y=-
4
27
x2+
22
3
交于点A(3,6).
(1)求k的值;
(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究:线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由;
(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究:m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个?

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科目:初中数学 来源: 题型:

根据题意,解答问题:

(1)如图1,已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,求线段AB的长.
(2)如图2,类比(1)的解题过程,请你通过构造直角三角形的方法,求出点M(3,4)与点N(-2,-1)之间的距离.
(3)在(2)的基础上,若有一点D在x轴上运动,当满足DM=DN时,请求出此时点D的坐标.

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科目:初中数学 来源: 题型:

完成下面证明:

(1)如图1,已知直线b∥c,a⊥c,求证:a⊥b
证明:∵a⊥c  (已知)
∴∠1=
∠2
∠2
(垂直定义)
∵b∥c (已知)
∴∠1=∠2  (
两直线平行,同位角相等
两直线平行,同位角相等

∴∠2=∠1=90° (
等量代换
等量代换

∴a⊥b      (
垂直的定义
垂直的定义

(2)如图2:AB∥CD,∠B+∠D=180°,求证:CB∥DE
证明:∵AB∥CD (已知)
∴∠B=
∠C
∠C
两直线平行,内错角相等
两直线平行,内错角相等

∵∠B+∠D=180° (已知)
∴∠C+∠D=180° (
等量代换
等量代换

∴CB∥DE   (
同旁内角互补,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行

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