Question

如图1，已知直线y=-

1

2

x+m与反比例函数y=

k

x

的图象在第一象限内交于A、B两点（点A在点B的左侧），分别与x、y轴交于点C、D，AE⊥x轴于E．
（1）若OE•CE=12，求k的值．
（2）如图2，作BF⊥y轴于F，求证：EF∥CD．
（3）在（1）（2）的条件下，EF=

5

，AB=2

5

，P是x轴正半轴上的一点，且△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）分别设出一次函数解析式和反比例函数的解析式，代入点A的坐标，即可得出各解析式．
（2）连接AF、BE，过E、F分别作FM⊥AB，EN⊥AB，得出FM∥EN，再根据AE⊥x轴，BF⊥y轴，得出AE⊥BF，由此得出S_△AEF=S_△BEF，最后证出FM=EN，得出四边形EFMN是矩形，由此证出EF∥CD；
（3）由（2）得出EF=AD=BC和CD的值，再由直线解析式可得OD=m，OC=2m，得出OD=4，再根据EF∥CD，得出OF和0E、DF的值，最后根据EF=

5

，AB=2

5

得出EP的值，即可求出P点的坐标；

解答：（1）解：设OE=a，则A（a，-

1

2

a+m），
∵点A在反比例函数图象上，∴a（-

1

2

a+m）=k，即k=-

1

2

a2+am，
由一次函数解析式可得C（2m，0），
∴CE=2m-a，
∴OE．CE=a（2m-a）=-a²+2am=12，
∴k=

1

2

（-a²+2am）=

1

2

×12=6．

（2）证明：连接AF、BE，过E、F分别作FM⊥AB，EN⊥AB，
∴FM∥EN，
∵AE⊥x轴，BF⊥y轴，
∴AE⊥BF，
S_△AEF=

1

2

AE•OE=

k

2

，
S_△BEF=

1

2

BF•OF=

k

2

，
∴S_△AEF=S_△BEF，
∴FM=EN，
∴四边形EFMN是矩形，
∴EF∥CD；

（3）解：由（2）可知，EF=AD=BC=

5

，
∴CD=4

5

，
由直线解析式可得OD=m，OC=2m，
∴OD=4，
又EF∥CD，
∴OE=2OF，
∴OF=1，0E=2，
∴DF=3，
∴AE=DF=3，
∵AB=2

5

，
∴AP=

10

，
∴EP=1，
∴P（3，0）．

点评：此题考查了反比例函数的综合题；解题的关键是画出图象，找出对应关系；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．