Question

7．已知关于x的一元二次方程x²-6x-k²=0（k为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x₁，x₂为方程的两个实数根，且x₁+2x₂=14，试求出方程的两个实数根和k的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=36+4k²≥36，由此即可证出结论；
（2）根据根与系数的关系可得出x₁+x₂=6，结合x₁+2x₂=14即可求出方程的两个根，再将其中一个根代入原方程中即可求出k的值．

解答 解：（1）证明：∵在方程x²-6x-k²=0中，△=（-6）²-4×1×（-k²）=36+4k²≥36，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x₁，x₂为方程x²-6x-k²=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=6，
∵x₁+2x₂=14，
∴x₂=8，x₁=-2．
将x=8代入x²-6x-k²=0中，得：64-48-k²=0，
解得：k=±4．
答：方程的两个实数根为-2和8，k的值为±4．

点评 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记两根之和为-$\frac{b}{a}$是解题的关键．