Question

已知如图，△AOB的OB边在x轴上，∠OAB=90°，OA=AB=3

2

，反比例函数y1=

k

x

过A点，一次函数y₂=ax-b的图象过A点且与反比例函数图象的另一交点为C（-1，m），连接OC
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△OAC的面积；
（3）根据图象，直接写出当y₁≥y₂时，x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设A（x，y），根据，∠OAB=90°且OA=AB，求出A点坐标，C点坐标可以根据点在解析式上很容易求出，把A、C两点代入解析式中求解方程即可；
（2）求面积，根据面积公式只要求出AC的长以及O到AC的距离即可，根据A、C的点坐标可以求出AC的长度，根据点到直线的距离公式可以求出AC边上的高，代入公式求解即可．
（3）从图形上很容易可以看出，注意要考虑到x＞0，x＜0的情况．

解答：解：（1）设A（x，y）在△AOB中，∠OAB=90°且OA=AB=3

2

所以x=y=sin45°×OA=3
将点A（3，3）代入反比例函数y₁=

k

x

中得3=

k

3

，k=9
又∵点C（-1，m）在反比例函数y₁=

9

x

上
∴m=-9
又∵点A（3，3），点C（-1，-9）在直线y₂=ax-b上
∴

3=3a-b -9=-a-b

解得a=3，b=6
∴该反比例函数的解析式为：y₁=

9

x

，
一次函数的解析式为：y₂=3x-6

（2）由（1）得点A（3，3），点C（-1，-9），AC=

(3+1)2+(3+9)2

=4

10

点O（0，0）到直线y₂=3x-6的距离h=

6

32+1

=

6

10

所以△OAC的面积S=

1

2

×4

10

×

6

10

=12

（3）如图所示，y₁≥y₂，即

9

x

≥3x-6
当x＞0，要使y₁≥y₂时，x的取值范围为：（0＜x≤1+

2

）
当x＜0，要使y₁≥y₂时，x的取值范围为：（x≤1-

2

）

点评：本题主要考查了：①反比例函数和一次函数解析式的求解．②求x的取值范围时，要注意分区间讨论．