Question

16．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB、AD的中点DE、BF相交天点G，连接BD、CG．有下列结论：①∠FGE=120° ②BG+DG=CG ③△BDF≌△CGB ④S_{四边形AEGF}=S_△BDG，其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由菱形的性质及等边三角形的性质就可以得出∠GDB=∠GBD=30°，得出∠GDC=∠GBC=90°，DG=BG，由四边形的内角和为360°就可以求出∠BGD的值，由直角三角形的性质就可以得出CG=2GD就可以得出BG+DG=CG，在直角三角形GBC中，CG＞BC=BD，故△BDF与△CGB不全等，由等边三角形的性质和三角形面积关系得出④正确，进而得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD．∠A=∠BCD．
∵∠A=60°，
∴∠BCD=60°，△ABD是等边三角形，
∴△BDC是等边三角形．∠ADB=∠ABD=60°，
∴∠CDB=∠CBD=60°．
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴∠BFD=∠DEB=90°，
∴∠GDB=∠GBD=30°，
∴∠GDC=∠GBC=90°，DG=BG，
∴∠FGE=∠BGD=360°-90°-90°-60°=120°，故①正确；
在△CDG和△CBG中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}&{\;}\\{DG=BG}&{\;}\\{CG=CG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△CBG（SSS），
∴∠DGC=∠BGC=60°．
∴∠GCD=30°，
∴CG=2GD=GD+GD，
∴CG=DG+BG．故②正确．
∵△GBC为直角三角形，
∴CG＞BC，
∴CG≠BD，
∴△BDF与△CGB不全等．故③错误；
∵△ABC是等边三角形，E、F分别是AB、AD的中点，
∴△ADE的面积=△BDE的面积=△ABF的面积，
∴△DFG的面积=△BEG的面积，
∴S_{四边形AEGF}=S_△BDG，故④正确；
∴正确的有：①②④共3个．
故选C．

点评 本题考查了菱形的性质的运用，等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，四边形的内角和定理的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质求解是关键．