Question

考虑方程（x²-10x+a）²=b①
（1）若a=24，求一个实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式．
（2）若a≥25，是否存在实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式？说明你的结论．

Answer 1

分析：（1）把方程变形为（x²-10x+a-

b

）（x²-10x+a+

b

）=0．当a=24，得到x²-10x+24-

b

=0或x²-10x+24+

b

=0；要恰有3个不同的实数x满足①式，则两个方程中一个判别式等于0，另外一个判别式大于0即可．
（2）由（1）得x²-10x+a-

b

=0或x²-10x+a+

b

=0，△₁=4（25-a+

b

），△₂=4（25-a-

b

），当a≥25，则△₂≤0，若△₂＜0，最多有两个不同的x满足①；若△₂=0，有a=25，b=0，则△₁=0，只有一个x满足①．

解答：解：（1）把方程变形为（x²-10x+a-

b

）（x²-10x+a+

b

）=0．当a=24，
得到x²-10x+24-

b

=0或x²-10x+24+

b

=0；
△₁=4（1+

b

）；△₂=4（1-

b

），
要保证恰有3个不同的实数x满足①式，
则△₁＞0，△₂=0，所以有b=1．

（2）不存在实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式．理由如下：
由（1）得x²-10x+a-

b

=0或x²-10x+a+

b

=0，则△₁=4（25-a+

b

），△₂=4（25-a-

b

），
若a≥25，则有△₂≤0，当△₂＜0时，最多有两个不同的x满足①；当△₂=0，有a=25，b=0，则△₁=0，两个方程都有相同的等根5，所以只有一个x满足①．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．同时考查了化高次方程为一元二次方程的方法、二次根式的性质和不等式的性质．