Question

4．爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
【特例探究】
（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4$\sqrt{2}$时，a=4$\sqrt{5}$，b=4$\sqrt{5}$；
如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=$\sqrt{7}$，b=$\sqrt{13}$；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
【拓展证明】
（3）如图4，?ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3$\sqrt{5}$，AB=3，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）①首先证明△APB，△PMN都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解决问题．
②连接MN，在RT△PAB，RT△PMN中，利用30°性质求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解决问题．
（2）结论a²+b²=5c²．设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出a²、b²、c²即可解决问题．
（3）取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明△ABF是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题．

解答 （1）解：如图1中，∵CN=AN，CM=BM，
∴MN∥AB，MN=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∵tan∠PAB=1，
∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°，
∴PN=PM=2，PB=PA=4，
∴AN=BM=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴b=AC=2AN=4$\sqrt{5}$，a=BC=4$\sqrt{5}$．
故答案为4$\sqrt{5}$，4$\sqrt{5}$，
如图2中，连接NM，
，∵CN=AN，CM=BM，
∴MN∥AB，MN=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵∠PAB=30°，
∴PB=1，PA=$\sqrt{3}$，
在RT△MNP中，∵∠NMP=∠PAB=30°，
∴PN=$\frac{1}{2}$，PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AN=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，BM=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴a=BC=2BM=$\sqrt{7}$，b=AC=2AN=$\sqrt{13}$，
故答案分别为$\sqrt{7}$，$\sqrt{13}$．
（2）结论a²+b²=5c²．
证明：如图3中，连接MN．
∵AM、BN是中线，
∴MN∥AB，MN=$\frac{1}{2}$AB，
∴△MPN∽△APB，
∴$\frac{MP}{AP}$=$\frac{PN}{PB}$=$\frac{1}{2}$，
设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，
∴a²=BC²=4BM²=4（MP²+BP²）=4x²+16y²，
b²=AC²=4AN²=4（PN²+AP²）=4y²+16x²，
c²=AB²=AP²+BP²=4x²+4y²，
∴a²+b²=20x²+20y²=5（4x²+4y²）=5c²．

（3）解：如图4中，在△AGE和△FGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGE=∠FGB}\\{∠AEG=∠FBG}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△FGB，
∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，
同理可证△APH≌△BFH，
∴AP=BF，PE=CF=2BF，
即PE∥CF，PE=CF，
∴四边形CEPF是平行四边形，
∴FP∥CE，
∵BE⊥CE，
∴FP⊥BE，即FH⊥BG，
∴△ABF是中垂三角形，
由（2）可知AB²+AF²=5BF²，
∵AB=3，BF=$\frac{1}{3}$AD=$\sqrt{5}$，
∴9+AF²=5×（$\sqrt{5}$）²，
∴AF=4．

点评 本题考查四边形综合题、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造全等三角形，学会利用新的结论解决问题，属于中考压轴题．