Question

20、某班数学兴趣小组在一次学习研讨中，兴奋地发现一个真命题，内容如下：
如图（1），正三角形ABC中，在AB，AC边上分别取点M，N，使BM=AN，连接BN，CM，那么BN=CM，且∠NOC=60°．
（1）请证明上述真命题．
（2）请你运用类比的思想，大胆猜测，在横线上填写适当内容，得到一个类似的真命题：
如图（2），正方形ABCD中，在AB，BC边上分别取点M，N，使AM=BN，连接AN，DM，那么AN=

DM

，且∠DON=

90

度（不要求证明）．

Answer 1

分析：（1）由△ABC是正三角形与AN=BM，易证得△ABN≌△BCM（SAS），由全等三角形的对应角相等，即可得∠ANB=∠BMC，又由∠ANB+∠ABN=180°-∠A=120°，由三角形的内角和定理，即可证得∠NOC=60°．
（2）由四边形ABCD是正方形与AM=BN，易证得△DAM≌△ABN（SAS），然后根据全等三角形的性质，求得AN=DM，∠AMD=∠BNA，又由∠BAN+∠BNA=90°，即可得∠DON=90°．

解答：解：（1）证明：∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC，
∵AN=BM，
∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴BN=CM，∠ANB=∠BMC，
∵∠ANB+∠ABN=180°-∠A=120°，
∴∠BMO+∠ABN=120°，
∴∠BOM=60°，
∴∠NOC=∠BOM=60°；

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠B=90°，AD=BD，
∵AM=BN，
∴△DAM≌△ABN（SAS），
∴AN=DM，∠AMD=∠BNA，
∵∠BAN+∠BNA=90°，
∴∠BAN+∠AMD=90°，
∴∠AOM=90°，
∴∠DON=∠AOM=90°．
故答案为：DM，90．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，正三角形与正方形的性质．题目综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．