Question

10．“双十一”淘宝网销售一款工艺品，每件成本是50元，当销售单价为100元时，每天的销售量是50件而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．设当销售单价为x元，每天的销售利润为y元．
（1）直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当x=70元时，网店既能让利顾客，又能每天获得4000元的销售利润？
（3）如果每天的销售利润不超过7000元，则当x取何值时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）

Answer 1

分析 （1）根据“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式；
（2）根据（1）相等关系列一元二次方程求解，结合题意取舍可得；
（3）由“每天的销售成本不低于7000元”求得x的范围，将（1）函数解析式配方成顶点式，根据二次函数的性质可得函数的最值．

解答 解：（1）y=（x-50）[50+5（100-x）]
=（x-50）（-5x+550）
=-5x²+800x-27500，
∴y=-5x²+800x-27500（50≤x≤100）；

（2）当y=4000时，-5（x-80）²+4500=4000，
解得x₁=70，x₂=90，
∵网店既能让利顾客，又能每天获得4000元的销售利润，
∴x=70，
故答案为：70．


（3）∵每天的总成本不低于7000元，
∴-5x²+800x-27500≤7000，
解得x≥82，
由（1）知50≤x≤100，
∴82≤x≤100，
∵y=-5x²+800x-27500=-5（x-80）²+4500，
∴当x＞80时，y随x的增大而减小，
∴当x=82时，y最大=-5×（82-80）²+4500=4480，
答：x=82时，每天的销售利润最大，最大利润是4480元．

点评 本题主要考查二次函数的应用与一元二次方程的应用，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式和方程式解题的关键．