Question

17．如图，已知在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠ABC的平分线BE交CD于点G，交AC于点E，GF∥AC交AB于点F．求证：EF⊥AB．

Answer 1

分析 先证出∠A=∠BCD，再证明△ABE∽△CBG，由平行线得出△ABE∽△FBG，得出△CBG∽△FBG，得出对应角相等∠BCG=∠BFG，由AAS证明△CBG≌△FBG，得出BC=BF，再由SAS证明△BEF≌△BEC，得出对应角相等∠EFB=∠ACB=90°，即可得出结论．

解答 证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴△ABE∽△CBG，
∵GF∥AC，
∴△ABE∽△FBG，
∴△CBG∽△FBG，
∴∠BCG=∠BFG，
在△CBG和△FBG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠FBG}&{\;}\\{∠BCG=∠BFG}&{\;}\\{BG=BG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CBG≌△FBG（AAS），
∴BC=BF，
在△BEF和△BEC中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=BC}&{\;}\\{∠FBE=∠CBE}&{\;}\\{BE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BEC（SAS），
∴∠EFB=∠ACB=90°，
∴EF⊥AB．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．