Question

16．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是AC上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于E，交BC于F．
（1）如图1，若AB=4，CD=1，求AE的长；
（2）如图2，点G时AE上一点，连接CG，若BE=AE+AG，求证：CG=$\sqrt{2}$AE；
（3）如图3，点P是AC上一点，连接FP，若AP=CD，求证：∠ADB=∠CPF．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得出AD=3，由勾股定求出BD，由三角形的面积求出AE即可；
（2）在BE上截取EH=AE，连接AH，则AG=BH，由SAS证明△ABH≌△CAG，得出AH=CG，在Rt△AEH中，EH=AE，即可得出结论；
（3）过C作CM⊥AC交AF延长线于M，由（2）知∠EAD=∠ABD，即∠MAC=∠ABD，由ASA证明△ABD≌△ACM，得出CM=AD，∠ADB=∠CMF，证出CP=CM，CF=∠MCF=45°，由SAS证明△CFP≌△CFM，得出对应角相等，即可得出结论．

解答 （1）解：∵AB=AC=4，CD=1，
∴AD=3，由勾股定理得：BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵Rt△ABD的面积=$\frac{1}{2}$AB•AD=$\frac{1}{2}$AE•BD，
∴$\frac{1}{2}$×4×3=$\frac{1}{2}$×AE×5，
解得：AE=$\frac{12}{5}$；
（2）证明：在BE上截取EH=AE，连接AH，如图2所示：
∵BE=AE+AG，
∴AG=BH，
∵∠BAD=∠AED=90°，∠ADE=∠ADB，
∴△ADE∽△ADB，
∴∠EAD=∠ABD，
即∠CAG=∠ABH，
在△ABH和△CAG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABH=∠CAG}\\{BH=AG}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△CAG（SAS），
∴AH=CG，
在Rt△AEH中，EH=AE，
∴AH=$\sqrt{2}$AE，
∴CG=$\sqrt{2}$AE；
（3）证明：过C作CM⊥AC交AF延长线于M，如图3所示：
由（2）知∠EAD=∠ABD，
即∠MAC=∠ABD，
在△ABD和△ACM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MAC=∠ABD}\\{AC=AB}\\{∠ACM=∠BAD=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACM（ASA），
∴CM=AD，∠ADB=∠CMF，
∵AP=CD，
∴AD=CP，
∴CP=CM，
∵Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠ACB=45°，
∵∠ACM=90°，
∴∠PCF=∠MCF=45°，
在△CFP和△CFM中，$\left\{\begin{array}{l}{CP=CM}\\{∠PCF=∠MCF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△CFP≌△CFM（SAS），
∴∠CPF=∠CMF，
∴∠ADB=∠CPF．

点评 本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要两次证明三角形全等才能得出结论．