分析 (1)由已知条件得出AD=3,由勾股定求出BD,由三角形的面积求出AE即可;
(2)在BE上截取EH=AE,连接AH,则AG=BH,由SAS证明△ABH≌△CAG,得出AH=CG,在Rt△AEH中,EH=AE,即可得出结论;
(3)过C作CM⊥AC交AF延长线于M,由(2)知∠EAD=∠ABD,即∠MAC=∠ABD,由ASA证明△ABD≌△ACM,得出CM=AD,∠ADB=∠CMF,证出CP=CM,CF=∠MCF=45°,由SAS证明△CFP≌△CFM,得出对应角相等,即可得出结论.
解答 (1)解:∵AB=AC=4,CD=1,
∴AD=3,由勾股定理得:BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5,
∵Rt△ABD的面积=$\frac{1}{2}$AB•AD=$\frac{1}{2}$AE•BD,
∴$\frac{1}{2}$×4×3=$\frac{1}{2}$×AE×5,
解得:AE=$\frac{12}{5}$;
(2)证明:在BE上截取EH=AE,连接AH,如图2所示:
∵BE=AE+AG,
∴AG=BH,
∵∠BAD=∠AED=90°,∠ADE=∠ADB,
∴△ADE∽△ADB,
∴∠EAD=∠ABD,
即∠CAG=∠ABH,
在△ABH和△CAG中,$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABH=∠CAG}\\{BH=AG}\end{array}\right.$,
∴△ABH≌△CAG(SAS),
∴AH=CG,
在Rt△AEH中,EH=AE,
∴AH=$\sqrt{2}$AE,
∴CG=$\sqrt{2}$AE;
(3)证明:过C作CM⊥AC交AF延长线于M,如图3所示:
由(2)知∠EAD=∠ABD,
即∠MAC=∠ABD,
在△ABD和△ACM中,$\left\{\begin{array}{l}{∠MAC=∠ABD}\\{AC=AB}\\{∠ACM=∠BAD=90°}\end{array}\right.$,
∴△ABD≌△ACM(ASA),
∴CM=AD,∠ADB=∠CMF,
∵AP=CD,
∴AD=CP,
∴CP=CM,
∵Rt△ABC中,AB=AC,
∴∠ACB=45°,
∵∠ACM=90°,
∴∠PCF=∠MCF=45°,
在△CFP和△CFM中,$\left\{\begin{array}{l}{CP=CM}\\{∠PCF=∠MCF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$,
∴△CFP≌△CFM(SAS),
∴∠CPF=∠CMF,
∴∠ADB=∠CPF.
点评 本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,有一定难度,特别是(3)中,需要两次证明三角形全等才能得出结论.
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