Question

已知：⊙O₁与⊙O₂外切于点A，直线l与⊙O₁、⊙O₂相切于B、C两点，且与O₁O₂的延长线交于点P（如图）．

（1）求∠BAC的度数；当l绕P点逆时针移动（过A点时除外），与⊙O₁和⊙O₂的交点从左到右依次为B、G、F、C时（如图），∠BAC+∠GAF的度数能定吗？若能确定，请求出．

（2）当直线1绕P点移动到两圆的另一侧且与两圆分别相切于D、E时，在图中各找出两组垂直线段和相似三角形．（不再添加辅助线）

Answer 1

解：（1）过点A作两圆的内公切线，交BC于点Q，
∵⊙O₁与⊙O₂外切于点A，直线l与⊙O₁、⊙O₂相切于B、C两点，
∴QB=QA=QC，
∴∠BAC=90°；
当l绕P点逆时针移动（过A点时除外），与⊙O₁和⊙O₂的交点从左到右依次为B、G、F、C时，∠BAC+∠GAF的度数能确定．过点A作两圆的内公切线，交BC于点Q；
∵⊙O₁与⊙O₂外切于点A，
∴∠GAQ=∠B，∠FAQ=∠P，
∴∠GAF=∠GAQ+∠FAQ=∠B+∠P；
∵∠BAC+∠B+∠P=180°，
∴∠BAC+∠GAF=180°；

（2）垂直线段：O₁D⊥PD，O₂E⊥PE
相似三角形：△PO₁D∽△PO₂E．
分析：（1）根据如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．为此，过点A作两圆的内公切线，交BC于点P．根据切线长定理可得PB=PA=PC，得出∠BAC=90°．∠BAC+∠GAF的度数是否能确定，取决于此二角的度数和是否为一个常数，如果过点A作两圆的内公切线，交BC于点Q，所以GAF=∠B+∠P，从而∠BAC+∠GAF=180°．
（2）根据切线的性质容易知道O₁D⊥PD，O₂E⊥PE．由O₁D∥O₂E知：△PO₁D∽△PO₂E．
点评：本题综合考查了直线与圆，圆与圆的位置关系，切线的性质，直角三角形，相似三角形的判定等多个知识点．