Question

6．如图，点C是线段AB的中点，以AC为直径作半⊙O，点D是半圆上与A、C不重合的一动点，延长AD到点E，使AD=DE，连接BE、CE．
（1）判断△AEB的形状，证明你的结论；
（2）若点D在运动中，若DB与⊙O相切时，判断DB与CE的位置关系并证明．
（3）在（2）的条件下，直接写出tanA的值．

Answer 1

分析 （1）由∠ADC=90°，AC=BC，AD=DE，推出CD∥EB，即可推出∠ADC=∠AEB=90°．
（2）由AD=DE，AO=OC，推出OD∥CE，由BD是⊙O切线，推出∠ODB=90°，推出BD⊥OD，由OD∥CE，即可推出BD⊥CE．
（3）设OA=OD=OC=a．则CE=CB=2a，设BD交CE于K．由CK∥OD，推出$\frac{CK}{OD}$=$\frac{BC}{OB}$=$\frac{2}{3}$，推出CK=$\frac{2}{3}$a，EK=$\frac{4}{3}$a，由△DKC∽△EKD，推出DK²=KC•EK，推出DK=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$a，只要证明∠A=∠CDK，
根据tan∠A=tan∠CDK=$\frac{CK}{DK}$，即可解决问题．

解答 解：（1）结论：△AEB是直角三角形．
理由：∵AC是⊙O直径，
∴∠ADC=90°，
∵C是AB中点，
∴AC=BC，∵AD=DE，
∴CD∥EB，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∴△AEB是直角三角形．

（2）结论：DB⊥CE．
理由：∵AD=DE，AO=OC，
∴OD∥CE，
∵BD是⊙O切线，
∴∠ODB=90°，
∴BD⊥OD，∵OD∥CE，
∴BD⊥CE．

（3）设OA=OD=OC=a．则CE=CB=2a，设BD交CE于K．
∵CK∥OD，
∴$\frac{CK}{OD}$=$\frac{BC}{OB}$=$\frac{2}{3}$，
∴CK=$\frac{2}{3}$a，
∴EK=$\frac{4}{3}$a，
∵△DKC∽△EKD，
∴DK²=KC•EK，
∴DK=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$a，
∵∠A+∠DCA=90°，∠DCA=∠ODC，∠ODC+∠CDK=90°，
∴∠A=∠CDK，
∴tan∠A=tan∠CDK=$\frac{CK}{DK}$=$\frac{\frac{2}{3}a}{\frac{2\sqrt{2}}{3}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查圆综合题、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．